如何理解二重积分的定义(图文版)

如何理解二重积分的定义(图文版)

我们在《马同学图解微积分(上)》中介绍一元函数的积分学时，先是介绍了曲边梯形，如下图所示。

由直线、及曲边所围成的曲边梯形

然后介绍了曲边梯形的面积可以通过黎曼和来逼近，如下图所示，从而引入了定积分的定义。

通过黎曼和来逼近曲边梯形

类似的，也让我们从曲顶柱体的定义、体积计算开始，从而来引入多元函数的积分。

曲顶柱体的定义

比如下图所示的就是一个曲顶柱体。

曲顶柱体的体积

可以这样计算，先把闭区域均分成个闭区域，记作：

观察其中的第个小闭区域，如下图左侧所示。以该小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于轴的柱面，可得一个小的曲顶柱体，如下图右侧所示，显然该小曲顶柱体是大曲顶柱体的一部分。

由于顶面是连续的，因此上述小曲顶柱体的顶面起伏不大，所以可在小闭区域上任意选择一点作为点，比如像下图左侧一样选择的中心点作为点。以小闭区域为底、为高作一平顶柱体，去近似上述的小曲顶柱体，如下图右侧所示。容易算出该平顶柱体的体积

小闭区域的面积也用表示。

按照上述方法，作出所有以小闭区域为底、小闭区域中心点的函数值为高的小平顶柱体，就可以近似整个曲顶柱体，如下图所示。此时所有小平顶柱体的体积和为

将闭区域均分成更多的小闭区域，即不断增加，这些小平顶柱体对曲顶柱体的近似效果越好，如下图所示。

所以可定义当时，这些小平顶柱体的体积和就是曲顶柱体的体积，即：

上一节介绍了曲顶柱体的体积定义为，其更严格形式要由本节将要介绍的二重积分给出。

二重积分的定义

上述二重积分的定义简单来说就是，当满足下列两个要求时，

• 将闭区域任意分成个小闭区域，需要保证时有
• 任意选择点，需要保证点在小闭区域上

若下列极限存在，就称此极限为函数在闭区域上的二重积分，即：

这么说还是比较抽象，下面通过再次讨论曲顶柱体的体积定义来理解一下上述二重积分的定义。

时有

先解释下其中的“时有”。上一节给出曲顶柱体的体积定义时，将方形闭区域进行了均分，每个都是同样的小正方形。因此在这里所有的最大直径就是其中某个的对角线，如下图左侧所示。随着增大，随之缩小，也随之缩小，如下图右侧所示。容易理解，这种划分方式可以保证时有。

除了上述的平均划分方式之外，根据二重积分的定义，我们还需要考虑所有可以保证时有的划分，比如下图的所示的两种不规则划分。

而如下图所示，虽然在不断增大，但由于其中红色的格子始终保持不变，所以并没有，这样的划分是不满足要求的。

n增大，lambda 没有趋于0

在上任取一点

再解释下其中的“任意选择点，需要保证点在小闭区域上”。除了像上一节那样选择的中心点作为点外，我们还需要考虑所有在小闭区域上的点都可以选为点，比如下图中的两种选取方式。

综上，考虑到任意划分、任意选取点，之前给出曲顶柱体的体积定义需要修正为：

直观来说就是，任意划分、任意选取点，最终构成的这些小平顶柱体也是可以近似曲顶柱体的，如下图所示。

这里有一点需要解释，根据曲顶柱体的定义可知其顶面函数在闭区域上连续，可以证明，在这个条件下函数在闭区域上的二重积分必定存在类似于《马同学图解微积分·上》中学习过可积的充分条件。所以不用考虑任意划分、任意选取点，只考虑均分、选择的中心点作为点的情况就可以了，所以定义曲顶柱体的体积为也是正确的。

非矩形的闭区域

上面对闭区域进行图示时都是用的矩形，实际上也是存在非矩形闭区域的，如下图所示。二重积分的定义在非矩形闭区域上也是适用的，这里不再赘述。