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挂谷猜想专题系列——新数系将几何问题指向实数解

创作时间:

作者:

@小白创作中心

挂谷猜想专题系列——新数系将几何问题指向实数解

引用

澎湃

https://m.thepaper.cn/newsDetail_forward_30051798

挂谷猜想（Kakeya conjecture）是数学中一个看似简单却极其深奥的问题，它探讨的是让一根线段在平面上旋转以指向所有可能方向所需的最小空间。这个问题自1917年提出以来，一直是数学家们研究的热点。近年来，随着在不同数系中取得的重要进展，这个百年难题似乎正在逐步揭开其神秘面纱。

挂谷猜想看上去像是一个脑筋急转弯。将一根针平放在桌子上。你至少需要预留多大的面积才能使它旋转指向所有可能的方向？

最明显的可能答案是直径等于针长的圆。但这显然是错误的。在过去的一个世纪里，努力理解这种错误的方式揭示了，这个看似有趣的小问题实际上是一个关于实数本质的深刻而挑衅性的数学问题——那些实数轴上的无限刻度作为该问题首次提出时空间中的坐标。

这已经通过近年来对挂谷猜想取得的最显著进展变得清晰起来。这些研究成果将原始问题中从数学家们一直受阻的实数领域转移到几何和算术世界，在这些世界中，线段由一些更易于处理的替代数字系统定义。

创新精神激发了数学家们新的使命感。

挂谷猜想让人感觉如此困难，但似乎每过几年就会出现一个解，”麻省理工学院数学家拉里·古斯（Larry Guth，1977 -）说，他已经研究这个问题超过15年。“它似乎比我所见过的任何其他问题都更有希望。”

紧绷挤压

现代版本的挂谷猜想与1917年由挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出的原始陈述相去甚远。他对在二维平面上将给定长度的一维线段旋转到最终指向所有方向所需的最小面积感到好奇。

一个直径等于线段长度的圆盘足以让线段旋转到所有方向——只需像旋转拨号盘一样旋转线段。但较小的形状也可以实现。

例如，取一个高等于线段长的等边三角形。通过执行一系列本质上是（汽车）三点掉头的操作，你可以移动线段——因为它是一维的，所以面积为零——围绕三角形移动并实现所需的扫描。能够实现这种所有指向的一组点被称为挂谷集（Kakeya集）。

挂谷想了解挂谷集可能的最小面积。1919年，Abram Besicovitch（艾布拉姆·贝西科维奇，1891 - 1970）给出了令人惊讶的答案：它可以无限小。他证明了可以构造出将等边三角形设计推向极致的挂谷集。你最终会得到一个在所有方向上辐射出的尖刺（spike），而不是三角形的三个角尖。

“在极限情况下，它看起来像一只奇特的刺猬，”普林斯顿大学的教授、这项新证明的作者Zeev Dvir（泽夫·德维尔）说。结果是一个复杂的分形排列，其面积可以任意缩小——这相当于没有任何面积。

普林斯顿大学数学家和计算机科学家Zeev Dvir与他的学生Manik Dhar 一起证明了某些有限数系的挂谷猜想。

图源：David Kelly Crow

在挂谷宗一提问两年后，贝西科维奇的构造就冒出来消除了他的问题。但几十年后，数学家们设计了一个经过修订的问题版本，这个版本的证明要复杂得多。

广泛虚空

贝西科维奇证明了挂谷集可以具有零面积，但除了面积之外，还有其他方式来描述形状的大小。贝西科维奇设计的集合仍然包含点，而在1970年代，关于这些点如何高效排列的问题重新出现。

这个问题被称为挂谷猜想（与原始的挂谷问题不同），它预测，如果你有一些小方块布料，并尝试将它们放置在挂谷集合上，使得这些方块完全覆盖集合，在某种非常精确的意义上，你将需要很多方块才来完成覆盖。

集合中的点的排列方式让它们更容易或更难以被覆盖的程度，被两个密切相关的称为豪斯多夫（Hausdorff）维度和闵可夫斯基（Minkowski）维度的度量所刻画。这些维度概念为数学家们提供了一个严格的框架来探索挂谷集——在贝西科维奇证明仅通过测量面积不足以理解它们的本质属性之后，仍继续研究它们的一种方式。

挂谷猜想预测，挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数都必须尽可能大。尽管这两种测度维数的确切定义是技术性的，但猜想背后的直觉相当简单：要使线条无处不在，你需要很多东西。

“每个方向都有一条线段，想象一下你试图把它们都挤压到某个东西里。该怎么压缩呢？”古斯说。

实数问题

挂谷猜想发生在欧几里得空间中，其中的点由实数定义——这些数可以有一个无限长的十进制展开，如19.1777…或π。随着时间的推移，越来越清楚的是，这些实数值坐标是挂谷猜想如此难以解决的一个重要原因。

挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）的罕见照片

图源：东京大学数学科学研究生院

究竟是实数的什么性质导致了这样的阻碍并不完全清楚，但有些特征很突出。

首先，实数是连续的，这意味着你无法在任何离散区间内观察它们而不失去算术运算的能力。（例如，如果你将自己限制在1和2之间的区间内，你就会失去加法，因为该区间内两个数的和将超出这个区间。）

其次，实数也是不可数的无限多的（uncountably infinite），这意味着无论你如何放大它们，你都会在每一个尺度上看到相同的东西。

“在实数中，有些数可以非常接近于零，但实际上并不为零。这某种意义上是技术关键所在，”不列颠哥伦比亚大学的约书亚·扎尔（Joshua Zahl）说。

实数的难度驱动数学家考虑在更小数系中设定的挂谷猜想版本。例如，这些数系可能只有1到5的整数值。虽然这些数系看起来不像实数，但它们具有许多相同的基本算术性质——它们允许加、减、乘、除。

它们也足够丰富，可以支持使用线性代数技术来定义线条，一旦你有了线条，你就可以询问一个略微修改过的挂谷猜想：在这些数系中，一个点集的最小大小是多少，使得你可以构造出每个方向的线条？

托马斯·沃尔夫（Thomas Wolff）在1996年提出了类似的问题 https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.329.7921 。从那时起，数学家们将其视为一个可以让他们更接近解答挂谷猜想的框架。

“想法是，这个问题可能更容易，也许你应该尝试开发解决这个问题的技术，用来获得处理实际欧几里得情况的想法，”普林斯顿大学的Manik Dhar说，他是两篇关于挂谷猜想最新论文的作者。

选择一个数字

为了定义这些小数系之一，首先请你选择一个数字。比如选择9，在这种情况下，你的数系包含从1到9的所有整数。或许你可能选择的是17、25或83。

你的选择很重要。特别是，这个数（称为模数 modulus）是否为质数，以及它不是质数的方式，对数系的行为以及可能应用于挂谷猜想的方法都有很大影响。

普林斯顿大学博士生Manik Dhar与他的导师Zeev Dvir一起证明了某些有限数系的挂谷猜想

图源：David Kelly Crow

2008年，Dvir解决了模素数的有限数系中的挂谷猜想 https://www.cs.princeton.edu/~zdvir/papers/Dvir09.pdf ，这是Wolff在1996年所考虑的特殊情况。这些数系被称为有限域（finite field），在数学中特别强大，用于解决难题。

Dvir证明了在有限域上，挂谷集必定具有最大的可能维数（这里的维度是以一种在有限设置中有意义的方式重新定义的）。他的证明只有两页长，主要依赖于这样一个事实：当模数是素数时，有限数系内的任何集合都是多项式方程的解（或根）——这意味着集合可以用方程描述，而实数挂谷集则不能。

Dvir的证明代表了挂谷猜想上的第一次重大进展，让数学家们暂时对未来在欧几里得挂谷猜想方面的后续进展充满希望。

然而什么结果都没发生。“人们都非常激动，而我们都尽力了，但就是不行，”古斯说。

然后，十多年后，Dvir归来。

素数乘积

2020年11月，Dvir和他的研究生Dhar解决了模不同素数乘积的有限数系中的挂谷猜想，其中模数是任何由不同素数乘积组成的数，如15（即3×5） https://arxiv.org/abs/2011.11225 。这些数系要求Dhar和Dvir超越多项式方法。取而代之的是，他们将问题转化为关于称为矩阵（matrix）的数字表格的问题。

在这些矩阵中，列代表点，行代表方向。如果特定点有特定方向的线条，则在矩阵中相应的位置写1。（否则输入0。）这样，矩阵就编码了一组线条的性质。现在你可以计算该矩阵的性质，以确定该集合的性质。特别是，矩阵的“秩”（rank）与线条集合的大小直接相关。

Dhar和Dvir证明了这些矩阵的秩很高，这意味着线条的集合很大，意味着对于这些特定的数系，挂谷猜想是正确的——任何包含所有方向线条的点的集合都需要很大。

不到一年后，Bodan Arsovski推广了Dhar和Dvir的结果。2021年8月，他证明了模素数幂的有限数系中的挂谷猜想，其中模数是一个质数的幂，例如9（即3⊃2;） https://arxiv.org/abs/2108.03750 。

这蕴含了p进数系的挂谷猜想，p进数系（p-adics）是一个无限数系，并且在某种程度上更类似于实数。 https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/