用余弦定理解斜三角形：已知三边求角度的完整指南

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@小白创作中心

用余弦定理解斜三角形：已知三边求角度的完整指南

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https://www.bilibili.com/read/mobile?id=36179516

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第五章斜三角形的解法

§5-7 已知三边，用余弦定理解斜三角形

【01】 如果知道任意三角形的三条边，也可以用余弦定理来求三个角（就是§5-1中的第四类问题）。因为从余弦定理的三个公式

【02】 可以分别得到

【03】 现在举例说明如下：

例1. 在 △ABC 中，已知 a＝32，b＝40，c＝66，解这个三角形（图5·18）。

【解】
(1)

【04】 查余弦表，得 A＝20°55' 。

(2)

【05】 查余弦表，得 B＝26°30' 。

(3)

【06】 查余弦表得 cos47°25'＝＋0.676 。这里余弦的值等于－0.6766，所以角 C＝180°－47°25'＝132°35' 。

【注意】解已知三边的三角形，用余弦定理求得一个角以后，第二个角也可以应用正弦定理来求。比方说，在上面的例题中，求得角 A 的值以后，可以根据 sinB＝b sinA／a 来求角 B 。（请读者计算一下，看和上面的结果是不是相同）但采用这个方法时，所选的第二个角应该是锐角，也就是对着较短的边的一个角。

【注意】另外，求得两个角以后，当然可以根据 A＋B＋C＝180° 来求第三个角。不过为了便于验算，我们通常总是独立地求出三个角，而利用三角形内角和的性质来进行验算。例如，在这里，我们得到 20°55'＋26°30'＋132°35'＝180°，可以知道计算没有错误。有时尽管没有算错，但求得的三个角的和可能稍稍比 180° 大几分或者小几分。这是因为三角函数表所载的都是函数的近似值；根据它们求得的结果总不免有一些误差的缘故。遇到这样的情形，我们可以把相差的几分适当地分配在三个角的值上，修正我们所得到的答案。

例2. 长 17 米的梯子，靠在斜壁上，梯脚与壁基相距 7 米，梯顶在沿着壁向上 15 米的地方，求壁面和地面所成的角 α 。