高等数学《多元函数微分学》核心基础概念梳理（考研数二复习）
高等数学《多元函数微分学》核心基础概念梳理（考研数二复习）
多元函数微分学是高等数学中的重要组成部分，对于学习工程数学和科研具有重要意义。本文将从多元函数的概念、极限、偏导数和全微分等方面进行系统梳理，帮助读者更好地理解这一知识点。
第一节 多元函数的概念
（1）二元函数的定义：
设D是R^2的一个非空子集，称映射f : D → R为定义在D上的二元函数，通常记为
z = f(x, y), (x, y) ∈ D
或者
z = f(P), P ∈ D
其中点集D称为该函数的定义域，x和y称为自变量，z称为因变量。
函数值f(x, y)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f(D)，即
f(D) = {z | z = f(x, y), (x, y)} ∈ D
（2）n元函数的定义：
根据二元函数的定义，可以推广到三元函数u = f(x, y, z), (x, y, z) ∈ D以及三元以上的函数。
把（2）中的点集D替换成n维空间R^n内的点集D，映射f : D → R称为定义在D上的n元函数，记为
u = f(x1, x2, ..., xn), (x1, x2, ..., xn) ∈ D
简记为
u = f(x), x ∈ (x1, x2, ..., xn) ∈ D
或
u = f(P), P(x1, x2, ..., xn) ∈ D
当n = 1时，上式可称为一元函数；n ≥ 2时，上式统称为多元函数
第二节 多元函数的极限
（1）区别于一元函数中的极限表达式：
lim_{x \to {x_0}}f(x)=A
或
f(x)→A （x → x_0)
对上式的解释：
当自变量x无限趋近于一个固定值x0时，函数f(x)的值无限趋近于一个常数A
这个常数A就叫做函数f(x)当x → x0时的极限
（2）多元函数含有两个及以上自变量，若要求其极限，则需要两个及以上自变量，分别无限趋近于某一固定值。
例如在二元函数中，含有自变量x, y，各自分别无限趋近于x0, y0，假设常数A存在，则有表达式
lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=A
或
f(x,y)→A((x,y)→(x0,y0))
若将(x, y)认为是一个二维坐标点的点集，用P代指这个点集，
将点(x0, y0)记作P0
则该二元函数的极限表达式可简写为
lim_{P \to P_0} f(P)=A
或
f(P)→A(P→P0)
（3）为了便于区分一元函数的极限，多元函数的极限统称作重极限，二元函数的极限被叫做二重极限。
第三节 多元函数的偏导数
（1）一元函数导数定义和几何意义
导数定义：如果Δy/Δx在Δx→0时的极限存在 ，那么称函数y=f(x)在x0处可导。
这个极限就是函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)，即
f′(x0)=lim_{Δx→0}Δy/Δx=lim_{Δx→0}(f(x0+Δx)−f(x0))/Δx
同时也有以下记法：
y′|{x=x0}
dy/dx|{x=x0}
df(x)/dx|_{x=x0}几何意义：
一元函数导数f′(x0)的几何意义，就是函数f(x)在点x0处的切线斜率。以f(x) = x^3，x0=5为例，如图所示
（2）多元函数偏导数定义和几何意义
偏导数的定义：在多元函数中，以二元函数为例，选取自变量x，将其他自变量（如自变量y）视作常量，此时该多元函数就是x的一元函数，此函数对x的导数称为多元函数z=f(x,y)对x的偏导数。
数学表达式为：
lim_{Δx→0}(f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0))/Δx
上式可以看出，自变量y的值被固定为y0成为常数。
偏导的含义就是将其他自变量固定，从而偏向某一自变量取导数。
- 偏导数的几何意义：
以二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数为例，解释其几何意义。
偏导数fx(x0,y0)，是二元函数对应曲面在点M0(x0,y0)处的切线对x轴的斜率。
偏导数fy(x0,y0)，是二元函数对应曲面被切面x=x0所截得得曲线在点M0(x0,y0)处的切线对y轴的斜率。
图示来自《高等数学下册（同济大学第七版》
第四节 偏微分和全微分
（1）偏增量和偏微分：
将偏导数的理念，应用到一元函数微分学中的增量和微分中，则
对于下式
f(x+Δx,y) - f(x,y) ≈ fx(x,y)Δx
式子左右两侧分别叫做：二元函数对x的偏增量和对x 的偏微分。
对于下式
f(x,y+Δy)-f(x,y)≈ fy(x,y)Δy
式子左右两侧分别叫做：二元函数对y的偏增量和对y的偏微分。
（2）全增量和全微分：
在大量的工程和科学实践中，我们发现，会遇到一类问题：
在多元函数中，当多个函数自变量如x, y同时取得增量Δx, Δy时，求函数f(x,y)获得增量Δf(x,y)的问题。该类问题我们统称为全增量问题。
以二元函数为例，该函数的全增量我们记做Δz，则有如下定义
Δz =f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
也可写做
Δz = AΔx + BΔy + ο(ρ)
其中AΔx + BΔy被称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，有
dz = AΔx+BΔy
（3）可微分的概念：
如果式（21）中，满足以下条件：
a.A和B不依赖于Δx和Δy，仅与x和y有关;
b.ρ = sqrt((Δx)^2+(Δy)^2)
那么称函数z=f(x,y)在点(x,y)为可微分的
如果多元函数在区域D内各点都可微分，那么称该函数在D内可微分
参考资料：《高等数学下册（同济大学第七版）》