高数技巧 | 函数的可导、连续与可微

高数技巧 | 函数的可导、连续与可微

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揭开函数世界的秘密：可导

想象一下，函数y=f(x)如同一条曲线，当x在某点附近微小变动，△x非零，若函数增量△y=f(x+△x)-f(x)的变化规律有迹可循，我们说函数在该点 存在导数，这是可导的初步定义。值得注意的是， 连续函数的导数存在，但反过来并非总是成立，这是连续与可导之间的重要区别。

连续的三位一体

连续性并非一蹴而就，它由三个条件共同构建：函数在点处定义，函数值的极限limf(x)存在，且两者在该点上一致。记住这个三元组，它在连续与可导的关系中起着决定性作用。

深入一步：可微

可微的定义更精细，当函数增量与自变量增量的关系并非简单线性，而是存在一个与Δx无关的常数A，使得(Δy-AΔx)比Δx高阶无穷小，那么函数在点处可微。这标志着函数在局部表现出一种极其平滑的行为，我们用记号来表达这种特殊的关系。

连接三者：连续、可导与可微

函数的连续是可导的基石，但并非所有连续函数都是可微的。一元函数中，可导保证连续，而连续却不能保证可导。在多元函数中，可偏导数与连续之间没有直接的因果关系，但可微意味着可偏导和连续的双重保障。一阶偏导数的连续性是走向可微的重要线索。

反例揭示的真理

通过一些反例，我们可以看到连续和可微之间的微妙差异。例如，在(0,0)点，连续并不足以确保可微性，同样，可偏导数的不连续并不意味着函数不可微。理解这些特例有助于我们全面掌握函数特性。

总结与启示

在函数的世界里，连续、可导和可微是三个相互关联但又独立的概念。一元函数的世界里，可导与可微是等价的，但在多元函数的迷宫中，每一步都需要我们精细地分析。掌握这些技巧，就像在数学的海洋中精准地导航，让你在高数的探索中游刃有余。