导数和微分的区别与应用
导数和微分的区别与应用
导数和微分
本文主要论述其中的区别
导数是描述函数变化率的量，它表示函数在某点的瞬时变化速度和切线斜率。
微分是导数的一个线性近似，表示函数在某点处随着自变量变化的增量。
导数和微分在本质上都是研究函数变化的工具，但导数更侧重于变化率，而微分更侧重于线性近似和变化量。
导数和微分是微积分中的两个重要概念，它们虽然紧密相关，但有不同的含义和应用。以下是它们的区别：
导数（Derivative）
- 定义：
- 导数是描述函数变化率的一个量。具体来说，函数f ( x ) f(x)f(x)在某点x = a x = ax=a处的导数，表示当x xx在a aa附近变化时，函数f ( x ) f(x)f(x)的变化速度。
- 数学上，导数定义为：
f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}f′(a)=limh→0 hf(a+h)−f(a)
- 几何意义：
- 导数在几何上表示曲线y = f ( x ) y = f(x)y=f(x)在点( a , f ( a ) ) (a, f(a))(a,f(a))处的切线的斜率。
- 表示方法：
- 常见的表示法有f ′ ( x ) f'(x)f′(x)、d f d x \frac{df}{dx}dxdf 、D f ( x ) Df(x)Df(x)等。
- 应用：
- 导数用于研究函数的单调性、极值、凹凸性等性质，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微分（Differential）
- 定义：
- 微分是导数的一个线性近似。它描述了函数f ( x ) f(x)f(x)在某点x = a x = ax=a处的增量与自变量x xx的增量之间的线性关系。
- 如果f ff在a aa处可导，且导数为f ′ ( a ) f'(a)f′(a)，那么函数在a aa处的微分d f dfdf可以表示为：
d f = f ′ ( a ) ⋅ d x df = f'(a) \cdot dxdf=f′(a)⋅dx - 其中d x dxdx是自变量x xx的一个增量。
- 几何意义：
- 微分表示的是切线的变化量，它是导数的一个线性近似，适用于小范围内的函数变化。
- 表示方法：
- 微分常表示为d y dydy或d f dfdf，其中d y = f ′ ( x ) ⋅ d x dy = f'(x) \cdot dxdy=f′(x)⋅dx。
导数描述函数变化率
例子：位置函数和速度
假设有一辆车在直线上行驶，其位置s ss（单位：米）随时间t tt（单位：秒）的变化用函数s ( t ) = t 2 s(t) = t^2s(t)=t2表示。这意味着在时间t tt秒时，车的位置是s ( t ) s(t)s(t)米。
我们想要了解这辆车在某一时刻的速度。速度就是位置随时间变化的速率，也就是位置函数的导数。
- 计算导数：
- 首先，计算位置函数s ( t ) s(t)s(t)的导数s ′ ( t ) s'(t)s′(t)：
s ′ ( t ) = d d t ( t 2 ) = 2 t s'(t) = \frac{d}{dt} (t^2) = 2ts′(t)=dtd (t2)=2t - 这个导数s ′ ( t ) s'(t)s′(t)就是车在时间t tt秒时的瞬时速度。
- 解释变化率：
- 导数s ′ ( t ) s'(t)s′(t)描述了车的位置s ( t ) s(t)s(t)随时间t tt变化的速率。例如，在t = 3 t = 3t=3秒时，导数s ′ ( 3 ) = 2 × 3 = 6 s'(3) = 2 \times 3 = 6s′(3)=2×3=6米/秒。这意味着在第 3 秒时，车的速度是每秒 6 米。
- 更具体地说，导数s ′ ( t ) s'(t)s′(t)告诉我们，当时间t tt变化一个非常小的量Δ t \Delta tΔt时，位置s ( t ) s(t)s(t)将变化约s ′ ( t ) ⋅ Δ t s'(t) \cdot \Delta ts′(t)⋅Δt。
具体的变化率例子
假设我们想知道在t = 3 t = 3t=3秒时，车的位置是如何随时间变化的。我们可以计算导数在这个点的值并解释它的含义。
在t = 3 t = 3t=3秒时，车的位置是：
s ( 3 ) = 3 2 = 9 米 s(3) = 3^2 = 9 \text{ 米}s(3)=32=9 米在t = 3 t = 3t=3秒时，车的瞬时速度是：
s ′ ( 3 ) = 2 × 3 = 6 米/秒 s'(3) = 2 \times 3 = 6 \text{ 米/秒}s′(3)=2×3=6 米/秒
如果时间从 3 秒增加到 3.1 秒，即Δ t = 0.1 \Delta t = 0.1Δt=0.1秒，我们可以使用导数来近似计算这段时间内车位置的变化量：
近似变化量Δ s \Delta sΔs：
Δ s ≈ s ′ ( 3 ) ⋅ Δ t = 6 米/秒 × 0.1 秒 = 0.6 米 \Delta s \approx s'(3) \cdot \Delta t = 6 \text{ 米/秒} \times 0.1 \text{ 秒} = 0.6 \text{ 米}Δs≈s′(3)⋅Δt=6 米/秒×0.1 秒=0.6 米实际位置的变化量：
计算实际位置在 3.1 秒时的位置：
s ( 3.1 ) = ( 3.1 ) 2 = 9.61 米 s(3.1) = (3.1)^2 = 9.61 \text{ 米}s(3.1)=(3.1)2=9.61 米实际位置的变化量：
Δ s = s ( 3.1 ) − s ( 3 ) = 9.61 − 9 = 0.61 米 \Delta s = s(3.1) - s(3) = 9.61 - 9 = 0.61 \text{ 米}Δs=s(3.1)−s(3)=9.61−9=0.61 米
通过这个例子，我们可以看到，导数s ′ ( t ) s'(t)s′(t)提供了车在某一时刻的位置变化率，近似地描述了车位置随时间变化的情况。这就是导数描述函数变化率的一个具体实例。
微分作为导数的线性近似
例子：函数f ( x ) = x 2 f(x) = x^2f(x)=x2
假设我们有一个函数f ( x ) = x 2 f(x) = x^2f(x)=x2，我们想要研究这个函数在某个点x = 2 x = 2x=2处的导数和微分。
- 计算导数：
- 首先，计算f ( x ) f(x)f(x)的导数f ′ ( x ) f'(x)f′(x)：
f ′ ( x ) = d d x ( x 2 ) = 2 x f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) = 2xf′(x)=dxd (x2)=2x - 在x = 2 x = 2x=2处的导数f ′ ( 2 ) f'(2)f′(2)为：
f ′ ( 2 ) = 2 × 2 = 4 f'(2) = 2 \times 2 = 4f′(2)=2×2=4
- 微分的线性近似：
- 在x = 2 x = 2x=2处，函数f ( x ) f(x)f(x)的微分d f dfdf表示为：
d f = f ′ ( 2 ) ⋅ d x = 4 ⋅ d x df = f'(2) \cdot dx = 4 \cdot dxdf=f′(2)⋅dx=4⋅dx - 这里，d x dxdx是自变量x xx的一个小增量。
- 具体例子：估算函数值的变化：
- 现在假设x xx从 2 增加到 2.1，即d x = 0.1 dx = 0.1dx=0.1。
- 通过微分来近似计算f ( x ) f(x)f(x)的变化量d f dfdf：
d f = 4 ⋅ 0.1 = 0.4 df = 4 \cdot 0.1 = 0.4df=4⋅0.1=0.4 - 这意味着，当x xx从 2 增加到 2.1 时，函数值f ( x ) f(x)f(x)的变化量大约为 0.4。
- 现在我们来计算精确的变化量，即f ( 2.1 ) − f ( 2 ) f(2.1) - f(2)f(2.1)−f(2)：
f ( 2.1 ) = ( 2.1 ) 2 = 4.41 f(2.1) = (2.1)^2 = 4.41f(2.1)=(2.1)2=4.41
f ( 2 ) = 2 2 = 4 f(2) = 2^2 = 4f(2)=22=4
f ( 2.1 ) − f ( 2 ) = 4.41 − 4 = 0.41 f(2.1) - f(2) = 4.41 - 4 = 0.41f(2.1)−f(2)=4.41−4=0.41 - 由此可见，通过微分得到的近似值0.4 0.40.4与精确变化量0.41 0.410.41非常接近。
在这个例子中，导数f ′ ( 2 ) = 4 f'(2) = 4f′(2)=4表示函数f ( x ) = x 2 f(x) = x^2f(x)=x2在x = 2 x = 2x=2处的瞬时变化率。而微分d f = 4 ⋅ d x df = 4 \cdot dxdf=4⋅dx提供了一个线性近似，用于估算当x xx发生小变化时，函数值f ( x ) f(x)f(x)的变化量。
这种线性近似在d x dxdx很小时非常有效，可以用于快速估算和简化计算。
PyTorch 中的求导（autograd）功能
基本用法
- 计算标量函数的导数
假设我们有一个标量函数f ( x ) = x 2 f(x) = x^2f(x)=x2，我们希望计算它的导数。
import torch
# 创建一个张量并启用梯度计算
x = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)
# 定义函数
y = x**2
# 计算导数
y.backward()
# 打印导数
print(x.grad) # 输出: tensor(4.0)
在这个例子中：
- 我们创建了一个标量张量 x 并启用了梯度计算（requires_grad=True）。
- 定义了一个函数y = x 2 y = x^2y=x2。
- 使用 y.backward() 计算导数，这会计算d y d x \frac{dy}{dx}dxdy 并将结果存储在 x.grad 中。
- 计算向量函数的导数
对于向量函数，我们可以计算每个分量对输入的梯度。
import torch
# 创建一个张量并启用梯度计算
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0], requires_grad=True)
# 定义函数
y = x**2
# 计算导数，y 是一个向量，因此需要提供梯度的初始值
y.backward(torch.tensor([1.0, 1.0, 1.0]))
# 打印导数
print(x.grad) # 输出: tensor([2.0, 4.0, 6.0])
在这个例子中：
- y 是一个向量函数y = [ x 1 2 , x 2 2 , x 3 2 ] y = [x_1^2, x_2^2, x_3^2]y=[x12 ,x22 ,x32 ]。
- y.backward() 需要一个与 y 形状相同的张量作为参数，表示每个分量的梯度初始值。
- 结果是 x.grad，它包含了每个分量的导数。