数量场（标量场）的方向导数及梯度推导、哈密顿算符定义

数量场（标量场）的方向导数及梯度推导、哈密顿算符定义

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/qq_44588244/article/details/136616044

数量场（标量场）的方向导数、梯度和哈密顿算符是数学物理中的基本概念，广泛应用于电磁学、流体力学等领域。本文将从方向导数的基本定义出发，逐步介绍梯度的概念，并最终介绍哈密顿算符的定义和性质。

1、方向导数

在等值面密集的地方数量场变化快，反之稀疏的地方变化慢。方向导数表示在数量场中在某一点，沿着某个方向的变化率。

计算M点沿着某个方向的方向导数计算定义如下：(其中u为数量场方程)

取出M、P点放入直角坐标中计算。

其中MP与x,y,z的夹角分别为α, β, γ

由此我们可以继续推导上述方向导数式子如下：

其中cosα, cosβ, cosγ是方向l的方向余弦。

由于方向l的方向有很多个，我们需要关心沿着哪个方向变化最快，因此我们引入了梯度！注意方向导数没有方向性，只是计算了沿着某个方向的变化率。

2、梯度

由图我们知道沿着不同方向矢量场变化率是不同的，其中变化率最大的方向是我们上图画出来的红色线方向，我们定义了这个方向为最大变化率方向，值等于最大变化率的量为梯度。表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）【梯度定义】。梯度描述的方向是等值面的法线方向（即与等值面垂直的方向），描述的大小是该点标量函数的最大变化率。

3、哈密顿算子

我们把上述式子定义为哈密顿算子。通过刚刚梯度计算的描述，我们知道哈密顿算子拥有矢量性和微分性，并且首先表现出矢量性！

因此我们的梯度可以写成：

算子其实就是一种计算符号，类似于➕，➖，这种表达一种计算方式。我们只要知道他是怎么计算的就可以了。