第03讲 三角函数的定义（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）

第03讲 三角函数的定义（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）

第03讲 三角函数的定义

知识点1：三角函数的基本概念

三角函数是数学中一类重要的函数，主要研究角度与边长之间的关系。在直角三角形中，三角函数可以表示为边长的比值。常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）等。

知识点2：任意角的三角函数

在平面直角坐标系中，可以将三角函数的概念推广到任意角。设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：

• sinα = y
• cosα = x
• tanα = y/x (x≠0)

热点题型1：已知角的终边位置求三角函数值

例1：已知角α的终边经过点P(3, 4)，求sinα、cosα和tanα的值。

解：由题意知，点P到原点的距离r = √(3² + 4²) = 5。因此：

• sinα = y/r = 4/5
• cosα = x/r = 3/5
• tanα = y/x = 4/3

热点题型2：利用三角函数的定义解题

例2：已知sinα = 3/5，且α是第二象限角，求cosα和tanα的值。

解：因为α是第二象限角，所以cosα<0。由sin²α + cos²α = 1，可得cosα = -4/5。因此：

• tanα = sinα/cosα = (3/5) / (-4/5) = -3/4

热点题型3：利用三角函数的定义证明恒等式

例3：证明：sin²α + cos²α = 1。

证明：设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：

• sinα = y
• cosα = x

因为点P在单位圆上，所以满足方程x² + y² = 1。将sinα和cosα的表达式代入，即可得到sin²α + cos²α = 1。

热点题型4：利用三角函数的定义求解实际问题

例4：已知一座塔的高度为h，从塔顶测得地面某点的俯角为α，求该点到塔底的水平距离。

解：设该点到塔底的水平距离为d，则有：

• tanα = h/d

因此：

• d = h/tanα

热点题型5：利用三角函数的定义求解复合函数问题

例5：已知f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

解：将x = π/4代入f(x)的表达式，得：

• f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2

习题巩固

1. 已知角α的终边经过点P(-3, 4)，求sinα、cosα和tanα的值。
2. 已知cosα = -1/2，且α是第三象限角，求sinα和tanα的值。
3. 证明：1 + tan²α = sec²α。
4. 已知一座山的高度为h，从山顶测得山脚某点的俯角为α，求该点到山脚的水平距离。
5. 已知f(x) = 2sin(x) - cos(x)，求f(π/6)的值。