极限的夹逼定理及其应用

极限的夹逼定理及其应用

本文将介绍夹逼定理的概念、使用条件及其应用。通过多个具体例子，帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学工具。

什么是夹逼定理

夹逼定理的定义如下：

设函数 (g(x) \le f(x) \le h(x))，如果在自变量的同一变化过程中 (\lim g(x) = A, \lim h(x) = A)，则必有：

[
\lim f(x) = A
]

通俗来讲，就是：如果函数 (A \ge B)，函数 (B \le C)，且函数 (A) 和函数 (C) 的极限都是常数 (A)，那么函数 (B) 的极限也一定是 (A)。这就是夹逼定理的核心思想。

夹逼定理的使用场景

夹逼定理主要适用于求解那些无法直接用极限运算法则求解的函数或数列极限。例如以下这些极限问题：

[
① \lim_{n \to \infty} \frac{10^n}{n!}
]

[
② \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n}
]

[
③ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3}
]

[
④ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right)
]

这些例子展示了夹逼定理在处理复杂极限问题时的独特优势。

夹逼定理的应用

根据定义，我们可以知道夹逼定理的核心思维是“放大和缩小”，即把一个复杂的数列放大或缩小成简单的形式。并且要确保放大和缩小后的极限都存在且相等。下面将通过三个类别来详细说明夹逼定理的具体应用。

第一类极限夹逼定理应用

这类极限的特点是极限表达式由 (n) 项相加组成，且每一项都是分式形式。这类极限相对容易处理，可以通过对第一项和最后一项同时放大 (n^\alpha) 倍的方法来找到合适的上界 (G(n)) 和下界 (h(n))。

例 1：

求极限 (\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right))

[
\begin{aligned}
& \text{令 } G(n) = \frac{n^2}{n^2 + \pi}, \quad h(n) = \frac{n^2}{n^2 + n\pi} \
& \text{此时有：} G(n) \ge \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right) \ge h(n) \
& \text{计算极限：} \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = 1 \
& \therefore 1 \ge \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right) \ge 1 \
& \therefore \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + \pi} + \frac{n}{n^2 + 2\pi} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n\pi} \right) = 1
\end{aligned}
]

例 2：

求极限 (\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right))

[
\begin{aligned}
& \text{对第一项和最后一项乘以 } n \
& \text{得：} G(n) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}, \quad h(n) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \
& \text{此时有：} G(n) \ge \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right) \ge h(n) \
& \text{计算极限：} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = 1 \
& \therefore 1 \ge \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right) \ge 1 \
& \therefore \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right) = 1
\end{aligned}
]

总结：

1. 观察极限 ({a_n}) 的首项和尾项
2. 通过对首项和尾项放大 (n^\alpha) 倍（(\alpha) 为分母同次幂），分别得到 (G(n)) 和 (h(n))
3. 分别对 (G(n)) 和 (h(n)) 求极限，若相等则为 ({a_n}) 的极限值

第二类极限定理应用

对于形如 (\frac{10^n}{n!}) 这样的极限，可以通过分析基本初等函数的变化趋势来解决。当 (x \to \infty) 时，基本初等函数的变化趋势为：

[
\ln^{\alpha}x \le x^{\beta} \le a^x \le x! \le x^x \quad (\text{其中 } \alpha > 0, \beta > 0, a > 1)
]

当 (x \to 0) 时，基本初等函数的变化趋势为：

[
\ln^{\alpha}x \ge x^{\beta} \ge a^x \ge x! \ge x^x \quad (\text{其中 } \alpha > 0, \beta > 0, a > 1)
]

注意：对数函数变化趋势越来越慢，幂函数相对平稳，指数函数变化趋势越来越快。(0! = 1)。

基本初等函数变化趋势图：

例：

求极限 (\lim_{n \to \infty} \frac{10^n}{n!})

[
\begin{aligned}
& \text{当 } n \to \infty \text{ 时，} n! \text{ 的增长趋势比 } 10^n \text{ 快} \
& \text{即 } x! \text{ 趋近于无穷大，而 } 10^n \text{ 还是一个常数 } A \
& \therefore \lim_{n \to \infty} \frac{10^n}{n!} = \frac{A}{\infty} = 0
\end{aligned}
]

总结：牢记函数变化趋势。

第三类极限夹逼定理应用

这类极限通常涉及多项式相乘的形式，如 (\sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n})。这类极限不能通过简单的技巧解决，需要先判断极限值，再应用夹逼定理。

例 1：

求极限 (\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n})

[
\begin{aligned}
& \text{令原函数通项为 } f(x) \
& \text{由幂函数变化趋势可知：} 1^n \le 2^n \le 3^n \
& \text{可以推测出极限值为：} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n} = 3 \
& \text{由此可知：} G(n) = \sqrt[n]{3^n + 3^n + 3^n} \ge f(x), \quad h(n) = \sqrt[n]{3^n} \le f(x) \
& \therefore G(n) \ge \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n} \ge f(x) \
& \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 3^n + 3^n} = \lim_{n \to \infty} 3^{\frac{n+1}{n}} = 3, \quad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n} = 3 \
& \therefore \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^n + 2^n + 3^n} = 3
\end{aligned}
]

例 2：

求极限 (\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3})

[
\begin{aligned}
& \text{令原式通项为 } f(x) \
& \text{观察题目可知：当 } x \to \infty \text{ 时，} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3} = 1 \
& \text{由此可知：} G(n) = \sqrt[n]{n^3 + n^3 + \ldots + n^3} = \sqrt[n]{n^4} \ge f(x) \
& \text{且：} h(n) = 1 \le f(x) \
& \therefore G(n) \ge f(x) \ge h(n), \quad \lim_{n \to \infty} G(n) = 1, \quad \lim_{n \to \infty} h(x) = 1 \
& \text{即：} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3} = 1
\end{aligned}
]

总结：

1. 大胆猜想极限值
2. 小心谨慎求证

结语

以上仅介绍了夹逼定理的三种典型应用场景。在实际问题中，还需要根据具体情况灵活运用。例如，对于 (\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + n + 1} + \frac{2}{n^2 + n + 2} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n + n} \right)) 这类问题，简单的放大或缩小方法可能无法直接应用，需要更深入的分析。