机器人静力分析与动力学：从基础概念到惯性张量计算
机器人静力分析与动力学：从基础概念到惯性张量计算
机器人技术是智能制造和工业自动化的重要组成部分，而静力分析与动力学是机器人设计和控制的基础。本文将从力的概念出发，介绍静力分析的正反问题，以及动力学中的转动惯量和惯性张量计算，帮助读者更好地理解机器人技术的核心原理。
力的概念
力是物体之间相互作用的结果，通常用牛顿（N）来表示。力可以改变物体的速度或形状。
- 力矩：力矩是力对物体产生旋转效应的量度，通常用牛顿米（N·m）来表示。力矩可以使物体绕某个轴旋转。比如电机产生的力矩、关节处的力矩等。
- 摩擦力：摩擦力是两个接触表面之间的阻力。摩擦力阻碍物体的相对运动。
- 惯性力：惯性力是由于物体的加速度而产生的力。惯性力使物体保持其运动状态。比如机器人加速或减速时产生的惯性力。
- 重力：地球或其他天体对物体的吸引力。重力使物体朝向地心加速运动。
- 科里奥利力：物体在旋转参考系中运动时产生的力。科里奥利力使物体的运动路径发生偏转。比如机器人手臂在旋转时，末端执行器的运动受到科里奥利力的影响。
- 接触力：接触力是两个物体接触时产生的力。接触力可以阻止物体的穿透或分离。比如机器人末端执行器与物体接触时产生的力。
- 离心力：离心力是物体在旋转运动中沿径向向外的力。离心力使物体远离旋转中心。比如机器人手臂在旋转时产生的离心力。
- 剪切力：平行于物体表面的力。剪切力可以使物体发生剪切变形。比如机器人关节处的剪切力。
- 弯曲力：使物体发生弯曲的力。弯曲力可以使物体发生弯曲变形。比如机器人手臂在负载作用下产生的弯曲力。
- 扭转力：使物体发生扭转的力。扭转力可以使物体发生扭转变形。比如机器人关节处的扭转力。
静力分析
静力分析分为正问题和反问题：
- 反问题：已知机器人末端的力，求解机械臂各关节的力矩。例如，一个打磨机器人，已知机器人末端的力，需要将其分解为机械臂的6个关节的力矩。
- 正问题：已知机械臂各关节的力矩，求解机器人末端的力或负荷的质量。例如，已知机械臂的6个关节的力矩，需要求解机器人末端的力或负荷的质量。
在静止状态下，机械臂末端碰到一个接触面时，接触面会返回一个力，机械臂末端会有一个力，为了抵抗这个力，各个关节也会产生一个力（关节产生的力是力矩），达到驱动力或力矩平衡的状态。
其中，J是一个速度雅可比矩阵，力雅克比矩阵是速度雅可比矩阵的转置。知道速度雅可比矩阵，在知道了其中某一个力，就可以求另外一个力。
动力学
动力学研究的是机构动起来时之间力的关系。
转动惯量与惯性张量
- 刚体绕着某个轴来进行旋转，我们称之为转动惯量。
- 刚体绕着空间中某个点来进行旋转，我们称之为惯性张量。
惯性是指物体保持原有的运动状态不变的性质。可以认为是保持匀速直线运动的、由质量所决定的一种物质属性，不受外力，就能保持匀速直线运动。如果刚体在保持匀速的转动，那么也有其转动惯量。
计算公式：
$$
I = \sum_{i} m_i r_i^2
$$
其中 $m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量，$r_i$ 是该质点到转轴的垂直距离，其中 $r$ 是质量元素 $dm$ 到转轴的垂直距离。
离散刚体与连续刚体
- 离散刚体：由有限数量的质点组成的刚体。每个质点都有确定的质量和位置，例子由几个球体组成的系统，由几个杆件连接的质点系统。
- 连续刚体：指由连续分布的质量组成的刚体。连续刚体的质量分布在整个体积内，而不是集中在几个质点上。例子均匀分布的圆盘，实心球体，长方体。
惯性张量
惯性张量是绕着某一定点来进行旋转的，那么可以绕x，绕y，绕z轴和空间中任一一个轴进行旋转，所以需要给他们结合起来，也就是一个3*3矩阵的形式，同时，定轴转动是定点转动的特例，转动惯量包含在惯性张量中。
得到了常见的表达方式，其中$I_{xx}$，$I_{yy}$，$I_{zz}$是分别绕x，y，z轴的转动惯量，$I_{xy}$是绕xy平面中任意一轴进行旋转的转动惯量。
注意：三重积分的顺序哈，x对应w，y对应l，z对相应h。
最终的到了：
有一点
此时的坐标系选择在了这个刚体的质心上！
主惯量一般来说，是咱们需要设置的，在做动力学仿真的情况下。
特殊：
这个公式代表这在坐标系c（质心）下的惯性张量，转换到了坐标系A下。在机器人推导等使用中很实用。 同时
eg
注意：惯量大的电机在启动和停止过程中需要更大的扭矩来克服其惯性，那么根据静力分析，可以算出末端的力会大一些，带动的负载重一些。
惯量匹配
惯量匹配（Inertia Matching）是指在机械系统中，通过选择合适的电机和负载，使得电机的转动惯量与负载的转动惯量相匹配，以优化系统的性能和效率。惯量匹配在许多应用中都非常重要，尤其是在需要高精度、高稳定性和高效率的系统中。
举一个例子：2自由度串联机器臂，第一个杆的转动惯量是100，要适配一个100的转动惯量的电机最好。
注意：杆的转动惯量不是关于质心的，而是关于电机的旋转轴的，此时就需要上面的公式。