棱柱、棱锥和棱台的直观图绘制方法

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@小白创作中心

棱柱、棱锥和棱台的直观图绘制方法

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https://www.bilibili.com/opus/964427076631265301

【导读】本文将介绍棱柱、棱锥和棱台的直观图绘制方法。直观图是一种能够同时展现立体图形的立体感和准确尺寸的绘图方式，广泛应用于工程制图和几何教学中。本文将通过详细的步骤说明和实例演示，帮助读者掌握这种绘图技巧。

直观图的定义与特点

在平面内绘制立体图形时，必须把空间的图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分之间的位置关系和度量关系，我们把这种图称作直观图。

例如，图2·33(1)、(2)就是正方体和桌子的直观图，它不同于一般的图画，图画的立体感很强，但不易从图中求出真实的尺寸（如图2·34），它也不同于工厂中机械零件的视图，视图的尺寸正确，但是缺乏立体感（如图2·35）。

直观图有各种不同的画法，这里研究其中最常用的一种。

棱柱的直观图

如图2·36是正方体的直观图（图(1)和(2)所取的三条互相垂直的轴虽然不同，但是画出的直观图是一样的），它的特点是水平平面上的图形——正方形——用一个平行四边形来表示，这个平行四边形的一个锐角是 45°，这个平行四边形与 OX 轴重合的那一条边长等于正方形的边长，与 OY 轴重合的那一条边长等于正方形边长的一半，正方体的高等于原来正方体的高。

如果在图上定出三条互相垂直的轴，如图2·36中 OX 轴、OY 轴在水平平面内、而 OZ 轴垂直于水平平面，那末这种直观图的特点是：与 OX 轴平行的线段和与 OZ 轴平行的线段取实际长度，而与 OY 轴平行的线段取实际长度的一半，且在图中 OX 轴和 OZ 轴互相垂直，OY 轴和 OZ 轴成 45° 的角。

下面研究这个正方体的直观图的画法，它的步骤是：

画出底面正方形 AOCD，使它的边长等于正方体的棱长，取直线 OA 为 OX 轴、OC 为 OY 轴（图2·37(1)）。
画 O₁X₁、O₁Y₁ 和 O₁Z₁ 三条轴，使 ∠X₁O₁Z₁＝90°，∠Y₁O₁Z₁＝45° 。在 O₁X₁ 轴上截取 O₁A₁＝OA，在 O₁Y₁ 轴上截取 O₁C₁＝OC/2，画出平行四边形 A₁O₁C₁D₁ 。这个平行四边形就是正方体直观图的底面（图2·37(2)）。
在 O₁Z₁ 轴上截取 O₁O₂ 等于正方体的棱长（图2·37(3)）。
画和 O₁O₂ 平行且相等的线段 A₁A₂、C₁C₂ 和 D₁D₂（图2·37(3)），顺次连结 A₂、O₂、C₂、D₂ 各点，就得到这个正方体的直观图（图2·37(4)）。

在直观图中，被遮住的线段（如图2·37(4) 中的 A₁D₁、D₁C₁、D₁D₂）都要画成虚线。O₁X₁、O₁Y₁ 和 O₁Z₁ 三条轴是用来帮助画图的，图画好后，应把它们擦去。

如果原来形状的尺寸太大或太小，可以按一定的比例尺，把原来形状缩小或放大来画。

由此，我们得到画这种直观图的一般步骤是：

在平面内按比例尺画出底面，定出 OX 轴和 OY 轴，使 OX⊥OY 。再定 O₁X₁、O₁Y₁ 和 O₁Z₁ 三条轴，使 O₁X₁⊥O₁Z₁，O₁Y₁ 与 O₁Z₁ 成 45° 角。
在 O₁X₁ 轴上取 OX 轴上的实际长，O₁Y₁ 轴上取 OY 轴上实际长的 1/2，画出直观图的底面。
从直观图底面各顶点引 O₁Z₁ 轴的平行线，按(1)里所定的比例尺截取高度。
连结各顶点，并加以整理，画出直观图。

例1. 有一个正五棱柱，底面的边长是 40cm；高是 70cm，画出它的直观图。

(1) 取 1:20 的比例尺，画出底面的图形正五边形ABCDE（图2·38(1)）。
(2) 和正五边形ABCDE对应地画出直观图的底面五边形A₁B₁C₁D₁E₁（图2·38(2)）。
(3) 过 A₁B₁C₁D₁E₁ 的各顶点，引平行于 O₁Z₁ 轴的直线，按比例尺截取各侧棱，得 A₂、B₂、C₂、D₂、E₂ 各点（图2·38(3)）。
(4) 顺次连结 A₂、B₂、C₂、D₂、E₂ 各点，加以整理，就得到所求的正五棱柱的直观图（图2·38(4)）。

上面的叙述是为了说明画法，在实际画直观图时不必加以叙述，只要画出图形，注明所用的比例尺就可以了。

这里只举例研究了正棱柱的直观图的画法，至于直棱柱和斜棱柱的直观图的画法也是类似的，这里就不多提了。

棱锥和棱台的直观图

棱锥和棱台的直观图的底面画法，与棱柱的底面画法相同。但是，棱锥要确定它的顶点的位置，棱台要画出它的上底面，这里主要研究正棱锥和正棱台的画法。

画正棱锥的直观图的步骤是：

按比例尺在平面上画出底面，定出 OX 和 OY 轴，使 OX⊥OY 。再定 O₁X₁、O₁Y₁ 和 O₁Z₁ 三条轴，使 O₁X₁⊥O₁Z₁，O₁Y₁ 和 O₁Z₁ 成 45° 角。
在 O₁X₁ 轴上取 OX 轴的实际长，O₁Y₁ 轴上取 OY 轴上实际长的一半，画出直观图的底面。
过直观图的底面中心，作直线平行于 O₁Z₁ 轴。按比例尺在它上面截取棱锥的高，得到棱锥直观图的顶点。
分别连结棱锥的顶点和底面各顶点，整理后画出棱锥的直观图。

例2. 正六棱锥的底面边长为 6cm，高为 8cm，画出它的直观图。

(1) 取 1:4 的比例尺，画出底面正六边形ABCDEF 。再画出直观图中和底面ABCDEF对应的六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁（图239(1)、(2)）。
(2) 画出底面正六边形的中心 H 和对应的直观图中底面六边形的中心 H₁ 。
(3) 过 H₁ 作 H₁S₁∥O₁Z₁，按比例尺截取棱锥的高 S₁H₁，得到棱锥直观图的顶点 S₁（图2·39(3)）。
(4) 分别连结 S₁ 和底面各顶点，加以整理，就得到所求的棱锥的直观图（图2·39(4)）。

同样，画棱台的直观图的一般步骤是：

同棱锥直观图画法步骤中的(1)、(2)，画出下底面图形和直观图的下底面。
在下底面内，画出上底面在下底面内的射影，并画出这射影在对应的直观图中的图形。
过直观图中上底面在下底面内的射影的各顶点，引 O₁Z₁ 轴的平行线，并按比例尺截取高度，得到上底面的各顶点。
顺次连结上底面的各顶点，并分别连结上下底面的对应顶点，加以整理，画出直观图。

例3. 正四棱台上下底面的边长分别为 20cm 和 30cm，高为 10cm，画出它的直观图。

(1) 按 1:10 的比例尺画出下底面正方形 OABC 和上底面在下底面内的射影正方形 O'A'B'C'，并画出直观图中和它们对应的图形 O₁A₁B₁C₁ 和 O₁'A₁'B₁'C₁'（图2·40(1)、(2)）。
(2) 过 O₁'、A₁'、B₁'、C₁'；引 O₁'O₂、A₁'A₂、B₁'B₂、C₁'C₂ 平行于 O₁Z₁ 轴，按比例尺截取 O₁'O₂、A₁'A₂、B₁'B₂ 和 C₁'C₂ 等于高（图2·40(3)）。
(3) 顺次连结 O₂、A₂、B₂、C₂ 各点，分别连结 O₁O₂、A₁A₂、B₁B₂ 和 C₁C₂，整理后就得到所求的棱台的直观图（图2·40(4)）。