六年级下册第二单元知识点整理：圆柱与圆锥

六年级下册第二单元知识点整理：圆柱与圆锥

本文整理了六年级下册第二单元关于圆柱和圆锥的知识点，包括它们的形成、各部分名称、侧面展开图、表面积和体积的计算公式，以及相关的切割和应用题型。这些知识点是基础几何学的重要组成部分，对于理解和掌握空间几何具有重要意义。

一、圆柱

1. 圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的；圆柱也可以由长方形卷曲而得到。

2. 圆柱各部分的名称：圆柱的两个圆面叫做底面（又分上底和下底）；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高（高有无数条，它们的数值是相等的）。

3. 圆柱的侧面展开图：

• 沿着高展开，展开图形是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，当底面周长和高相等时（h=2πR），侧面沿高展开后是一个正方形，展开图形为正方形。

• 不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。

• 无论如何展开都得不到梯形。

  侧面积＝底面周长×高 S侧=Ch=πd×h =2πr×h

4. 圆柱的表面积：圆柱表面的面积，叫做这个圆柱的表面积。

   圆柱的表面积＝2×底面积＋侧面积，即S表=S侧+S底×2 = 2πr×h + 2×πr2

   （实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，都要用进一法）

5. 圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积。

   圆柱切拼成近似的长方体，分的份数越多，拼成的图形越接近长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。

   长方体的体积=底面积×高

   圆柱体积=底面积×高

   V柱＝S h =πr2 h

   h =V柱÷S=V柱÷(πr2)

   S=V柱÷h

6. 圆柱的切割：

• 横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr2
• 竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh

7. 考试常见题型：

• 已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长
• 已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积
• 已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积
• 已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积
• 已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积

8. 常见的圆柱解决问题：

• 压路机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管（求侧面积）
• 压路机压过路面长度（求底面周长）
• 水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）
• 鱼缸、厨师帽（求侧面积和一个底面积）
• V钢管=（πR2﹣πr2）×h

二、圆锥

1. 圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。

2. 圆锥各部分的名称：

• 圆锥只有一个底面，底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面，把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
• 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。（测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。）

3. 圆锥的体积：

• 圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一
• V锥= ×底面积×高＝ S h＝ πr2 h
• 圆锥的高=圆锥体积×3÷底面积 h =3 V锥÷S = 3 V锥÷(πr2)
• 圆锥的底面积=圆锥体积×3÷高 S= 3 V锥÷h

4. 圆锥的切割：

• 横切：切面是圆
• 竖切（过顶点和直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，表面积增加两个等腰三角形的面积，即S增=2Rh

5. 考试常见题型：

• 已知圆锥的底面积和高，求体积
• 已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积
• 已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积

三、圆柱和圆锥的关系

1. 圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高且侧面沿高展开图是长形。

2. 圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高且侧面展开图是扇形。

3. 体积关系：

• 圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。
• 圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱高的3倍。
• 圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积（注意：是底面积而不是底面半径）是圆柱的3倍。
• 圆柱体积比等底等高圆锥体积多2倍。
• 圆锥体积比等底等高圆柱体积少。

4. 比例关系：

• （1）等底等高：V锥:V柱＝1:3
• （2）等底等体积：h锥:h柱＝3:1
• （3）等高等体积：S锥:S柱＝3:1

题型总结

1. 高不变半径扩大缩小n倍，直径、底面周长、侧面积扩大缩小n倍，底面积、体积扩大缩小n2倍。
2. 半径不变高扩大缩小n倍，侧面积、体积扩大缩小n倍
3. 削成最大体积的问题：

• 正方体里削出最大的圆柱圆锥：圆柱圆锥的高和底面直径等于正方体棱长
• 长方体里削出最大的圆柱圆锥：圆柱圆锥底面直径等于宽（宽﹥高）圆柱圆锥高等于长方体高

4. 浸水体积问题：水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度。
5. 等体积转换问题：一圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，注意不要乘以1/3 。