如何理解正交函数和广义傅里叶级数

如何理解正交函数和广义傅里叶级数

正交函数和广义傅里叶级数是高等数学中的重要概念，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将从几何中的正交概念出发，逐步探讨函数空间中的正交性，并深入解析广义傅里叶级数的理论基础。

对我们许多人来说，“正交”的第一个概念与几何中的“垂直”有关。两个正交矢量相互成直角（90 度）。很基本，对吗？

在本文中，我们将探讨高级微积分中最巧妙的观点之一：正交性概念在函数中的推广，以及由这一概念产生的随后的级数展开，也称为广义傅里叶变换。

让我们开始吧！

正交性与向量

在深入探讨正交函数的复杂性之前，我们先来回顾一下向量分析的基础知识。

考虑三维空间中的两个向量：

其中：

是三个基向量。

矢量 ||A|| 的长度，也称为“模”，可求得：

向量的模

我们通过以下方式定义A和B的内积:

两个向量的内积

其中，θ是两个矢量之间的夹角，如上图所示。

当两个矢量正交（垂直）时，它们的内积总是零，因为。

当每个向量都与其他向量正交（垂直）时，我们称由个向量组成的集合为正交集合。此外，如果集合中所有向量的模（长度）都等于 1，那么这个集合就叫做正交集合。

例如，集合是一个正交集合，因为：

正交向量集示例

好了，复习已经结束。现在我们来看看如何将正交的概念扩展到函数。

正交函数

考虑一个函数。

查看的一种方法是将其视为一个由无限个分量（而非之前的三个分量）组成的向量。每个分量都由)在的特定值时的值来指定。

在建立了这种类比关系--函数是由无限分量组成的向量之后，我们现在就可以将向量分析中的所有概念应用到函数中了。

首先，我们看到向量的模是其所有分量之和的平方根。将这一概念扩展到函数，我们可以如下定义函数的模:

函数的模

请注意上面的定义与矢量模的定义相似。唯一不同的是，我们用积分代替了和--积分是和的极限--因为我们现在处理的是无限分量。

以此类推，我们用下面的方法定义两个函数和的内积：

两个函数的内积

请再花点时间自己体会一下为什么这个定义是有意义的。在向量分析中，两个向量的内积是其对应分量的积之和。上式概括了这一定义，并将其扩展到函数中，用积分代替了和。

为了扩展类比，和为正交的条件定义如下:

最后，如果所有函数都与所有其他函数正交，那么函数集就是正交的。此外，如果函数的模值等于 1，则该集合称为正交集合。

给定一组ₙ正交函数，那么:

一个正交集合

最后，一个正交但不正交归一的函数集合 ₙ可以通过将集合中每个函数除以其模 ₙ，即可将非正交集合转化为正交集合。

权重函数

通过引入权函数的概念，我们可以进一步推广上述定义。

我们前面给出的函数集正交性定义ₙ是我们现在要考虑的一个概念的特例。我们说，在下列情况下，一个集合相对于权重函数是正交的:

与权重函数有关的正交性

函数的模现在可以写成：

相对于权函数的正交

我们不难发现，当时，“常见”类型的正交性就出现了。

正交函数序列

大多数学生都会记得他们在第一堂微积分课上遇到的泰勒级数，根据泰勒级数，一个函数可以表示为一个无限加权多项式。

事实证明我们可以用正交函数的无限线性组合--或数列--来表示给定的函数。

考虑集合ₙ, 相对于权函数是正交的。那么，对于给定函数，我们可以写出

广义傅里叶级数

注意：我们假设数列是均匀收敛的

现在我们唯一要做的就是找出系数ₙ

为了找到这些常数，我们将两边乘以ₘ，然后在区间上按期积分。结果是:

现在，请回顾一下正交性质，根据这一性质，除了时，所有序列项都是零：

求解ₙ得到:

系数ₙ的计算公式

的这种表示法称为正交序列或广义傅里叶级数。系数ₙ称为傅里叶系数。

请注意，在角频率为的周期函数的傅里叶级数中，正交函数是 复数

傅里叶级数的正交函数

结束语

这是数学界一个非常重要的结果。广义傅里叶级数对于将函数分解为更简单的函数之和非常有用。这项技术可以帮助我们解决物理学、数学和工程学等许多领域的大量问题。

然而，一个问题仍然存在。为了回答这个问题，我们必须研究一类特殊的问题，即在微分方程领域具有重要意义的 Sturm-Liouville问题。