机器学习的数学基础：向量与矩阵
机器学习的数学基础：向量与矩阵
机器学习作为一门前沿技术，其核心离不开数学基础的支撑。其中，向量和矩阵作为最基本的数据结构，在机器学习算法中扮演着至关重要的角色。本文将从定义、运算规则到实际应用，系统地介绍向量和矩阵的相关知识，帮助读者建立扎实的数学基础。
1. 向量
1.1 定义
机器学习面对的训练数据，几乎没有只有单一属性的（也就是数据只包含一个数值或者一个字符串），而是每个数据都包含多种属性，比如气象数据（包含温度，湿度，风向等等），金融数据（开盘价，收盘价，交易量等等），销售数据（价格，库存量，卖出数量等等）。
为了表示这个多属性的数据，或者称为多维度的数据，向量最为合适。
向量就是有几个数字横向或者纵向排列而成，每个数字代表一个属性。
向量类似编程语言中的一维数组，在numpy中也是这么保存的。
1.2 转置
向量可以用行或者列的形式表示，比如：(\begin{bmatrix}1,2,3\end{bmatrix})或者(\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix})。
向量用行还是列来表示，主要取决于后续进行怎样的计算，本质区别不大。
向量的转置操作就是用来对行向量和列向量进行互相转换的。
1.3 加和减
向量之间进行加减操作时，向量的长度必须一样，并且必须同为行向量或同为列向量。
简单来说，向量之间的加减法就是对应位置的元素之间的加减法。
1.4 积运算
向量有两种积运算，一种是向量和数值之间的积运算，也称为标量积；
另一种是向量和向量之间的积运算，也称为内积。
标量积运算之后，向量还是向量，向量中的每个元素分别乘以标量。
内积运算之后，向量变成一个数值（也就是标量）：
计算规则就是向量对应位置的数值相乘，最后将每个位置的计算结果相加。
1.5 模运算
向量还有一个模运算，模运算是一种对向量量化的方式，它把向量转换为一个数值，从而可以方便的比较不同向量的大小。
模运算的运算符号是两个竖线：(||x||)，运算规则相当于是先计算向量与自己的内积，然后开平方。
2. 矩阵
2.1 定义
矩阵可以看作是相同长度的行向量或者列向量的集合。
它类似编程语言中的二维数组。
矩阵的结构如下，其中的数据按照矩形阵列的结构排列，这也是矩阵这个名称的由来。
这是一个 (3 \times 4) 的矩阵，也就是3行4列的矩阵。
注意，矩阵的行列数量不一定要一样，当行列数量一样时，矩阵也被称为方阵。
和向量类似，矩阵也可以转置，矩阵的转置也是行列互换：
2.2 加和减
和向量类似，矩阵的加减法也是对应位置的元素进行加减运算，这就要求参与加减运算的两个矩阵必须有相同的行数量和列数量。
矩阵减法运算类似。
行或列数量不一样的矩阵是无法进行加减运算的。
2.3 积运算
矩阵的积运算也分为标量积和内积。
标量积的计算与向量类似，矩阵的每个元素都乘以标量。
内积运算略微复杂一些，对参与运算的矩阵也有要求，需要第一个矩阵的列数量等于第二个矩阵的行数量。
即：矩阵(A)和(B)能够进行内积运算的话，(A)和(B)分别为(M\times N)和(N\times K)的矩阵，它们的内积是一个(M\times K)矩阵。比如：
2.4 单位矩阵和逆矩阵
矩阵中有一种极其重要的特殊矩阵，被称为单位矩阵。
单位矩阵首先是一个方阵，并且除了对角线上的元素为 1 之外，其他元素都是 0。比如：
单位矩阵虽然简单，作用却不小，在矩阵分解和做高斯消元等运算时有重要的作用。
如果对于矩阵(A)，存在一个矩阵(B)，使得(AB=I)，其中(I)是单位矩阵。
那么，(B)就是(A)的逆矩阵，同时(A)也是(B)的逆矩阵，(B)一般表示为(A^{-1})。
也就是：(AA^{-1}=A^{-1}A=I)
3. 总结
向量和矩阵是机器学习中使用最多的两种结构，比如：
- 线性回归模型：(f(x) = w_0+w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n=w^Tx)
- 聚类函数欧氏距离：(d(X_i, C_j) = ||X_i - C_j||^2)
- 数据正则化时的L2范数：(\parallel x \parallel_2=\sqrt{\sum_{i=1}^m \mid x_{i}^2\mid})
- 等等... ...
仔细观察机器学习模型中涉及的各种公式，大部分都是一些向量和矩阵的运算，包括加减，标量积和内积等等。
之所以觉得困难，是因为平时生活中用的计算几乎都是标量运算，对于向量和矩阵的运算不熟悉，再加上对各种数学符号不熟悉，混在一起的时候就觉得像天书一样。
其实，向量可以当成是一种特殊的矩阵，我们可以把行向量看成是(1\times N)的矩阵；把列向量看成是(N\times 1)的矩阵。
最后，给大家留下一个小小的问题，向量和矩阵的运算有加减法和乘法的运算，却没有除法相关运算，为什么？