复数的定义、性质与应用：从基础到进阶的全面解析
复数的定义、性质与应用：从基础到进阶的全面解析
复数是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域都有广泛的应用。本文将从复数的定义出发，系统地介绍复数的四则运算、几何意义、性质以及三角形式等内容，帮助读者全面理解复数的相关知识。
定义
规定 \(i^2 = -1\)，并称 \(i\) 为虚数单位。则 \(i^3 = -i,i^4 = (i^2)^2 = 1,i^5 = i^4 \cdot i = i\)，所以 \(i^k\) 具有周期性，周期为 \(4\)。
复数：
\[z = a + bi(a,b \in \mathrm R)
\]
其中 \(a\) 为实部，\(b\) 为虚部。 注意：\(a\) 和 \(b\) 都是实数 。
所有复数组成的集合就叫做复数集，即：
\[\mathrm C = \{z|z = a + bi,a,b \in \mathrm R\}
\]
四则运算
四则运算的结果必须写为 \(a + bi\) 的形式。
一般地，设 \(z_1 = a + bi,z_2 = c + di(a,b,c,d \in \mathrm R)\)，则
\[z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\\
z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i\\
z_1z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\\
\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a + bi}{c + di} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
\]
对于复数的除法，关键是消去分母的 \(i\)，若分母是 \(a + bi\)，则可以在分子分母上同乘 \(a - bi\)，将分母变为 \(a^2 + b^2\)；若分母是 \(ki\)，\(k \in \mathrm R\)则可以分子分母同乘 \(i\)，将分母变为 \(-ki\)。
运算性质
实数的所有运算性质，在复数中均成立 。
交换律，结合律和分配律。
完全平方差公式，平方差公式。
等式性质。
基本概念
做复数相关题目时，最关键的是要找到 \(a\) 和 \(b\)。
一般来说，复数题会给一个较为复杂的式子，需要化简式子并得到 \(a + bi\)，然后利用 \(a\) 和 \(b\) 解题。
若题目给定的是 抽象复数 ，即没有给定具体的复数，那么可以考虑设对应复数 \(z = a + bi\)，根据基本概念表示出题目中相关的量代入求解。
分类
\[复数(a + bi)
\begin{cases}
实数:b=0\\
虚数:b \ne 0
\begin{cases}
纯虚数：a = 0 且 b \ne 0\\
实部不为 0 的虚数:a,b \ne 0
\end{cases}
\end{cases}
\]
注意：纯虚数需要保证 \(b \ne 0\)。
相等复数
实部与虚部都对应相等的复数，即：如果 \(a,b,c,d\) 都是实数，则 \(a + bi = c + di \iff a = c\) 且 \(b = d\)。
注意：两个复数，如果步全是实数，则无法比较大小。所以若题目给定两个复数的大小关系，则这两个复数 一定都是实数 。
复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面，一般对于复数 \(z = a + bi\)，令 \(Z\) 的坐标为 \((a,b)\)，则点 \(Z\) 是复数 \(Z\) 在平面上对应的点的坐标。
复数的几何意义
因为平面直角坐标系中的点 \(Z(a,b)\) 能 唯一确定 一个以原点 \(O\) 为始点，\(Z\) 为终点的向量 \(\overrightarrow{OZ}\)，所以复数也可用向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 来表示。
因此能在 复数集 与平面直角坐标系中以 \(O\) 为始点的向量组成的 集合 之间建立一一对应关系，即 复数 \(z = a + bi \iff\) 向量 \(\overrightarrow{OZ} = (a,b)\)。
复数的模
向量 \(\overrightarrow{OZ} = (a,b)\) 的长度称为复数 \(z = a + bi\) 的模（或绝对值）。复数 \(z\) 的模用 \(|z|\) 表示 ，因此 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
共轭复数
一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数 \(z\) 的共轭复数用 \(\overline{z}\) 表示。读作：\(z\) 共轭。
当 \(z = a + bi(a,b \in \mathrm R)\) 时，有 \(\overline z = a - bi\)。
【几何特点】复平面内表示两个复数的点关于实轴对称 \(\iff\) 两个复数互为共轭复数。
\(|z_1 - z_2|\) 的几何意义
内容
首先，\(|a-b|\) 表示数轴上 \(a,b\) 两点之间的距离。那么类比分析可知，\(|z_1 - z_2|\) 表示复平面上 \(z_1,z_2\) 两点之间的距离。
例如等式 \(|z - 1| = 1\)，实际上表示的是与点 \((1,0)\) 距离为 \(1\) 的点的集合，即圆心为 \((1,0)\)，半径 \(r = 1\) 的圆。
例题
例：复数 \(z\) 满足 \(|z + i| + |z - i| = 2\)，则 \(|z + i + 1|\) 的最小值是多少。
分析：
由于 \(|z + i|\) 和 \(|z - i|\) 分别表示平面内距离 \(A(0,-1)\) 和 \(B(0,1)\) 的点的坐标，设复数 \(z\) 在坐标系上对应的点为 \(P\)。则 \(|PA| + |PB| = 2\)，又由于 \(|AB| = 2 = |PA| + |PB|\)，所以点 \(P\) 的运动轨迹在线段 \(AB\) 上。
又由于 \(|z + i + i| = |z -(-1 - i)|\)，所以其几何意义为点 \(P\) 到 \(C(-1,-1)\) 的距离最小值。画图可知，当 \(CP \perp AB\)，即 \(P\) 与 \(A\) 共点时，距离最小，此时最小值为 \(1\)。
总结：遇到模长较多的题目，可以考虑将模长翻译成线段长度，从几何上解决问题。
复数的性质
性质一
内容：
\[|z_1z_2| = |z_1||z_2|\\
\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}(z_2 \ne 0)
\]
作用：若题目中遇到模长的乘除法，则可以分别计算每个部分的模长，再算乘除法。
例如：
\[\left|\dfrac{3 + 2i}{2 + 3i}\right| = \dfrac{|3 + 2i|}{|2 + 3i|} = 1
\]
注意：这种性质只适用于乘除法，不适用于加减法。一般情况下，\(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\)。
例题
已知复数 \(z\) 满足 \(\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019} z = \left(- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3\)，则 \(|z|\) 为多少。
分析：
由题意得：
\[z = \dfrac{\left(-\dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3}{\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019}}
\]
所以
\[\begin{aligned}
|z| & = \dfrac{\left|\left(- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3\right|}{\left|\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019}\right|}\\
& = \dfrac{\left|- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right|^3}{\left|\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right|^{2019}}\\
& = \dfrac{\left(\sqrt{\left(- \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)^2}\right)^3}{\left(\dfrac{|1 + i|}{|\sqrt 2|}\right)^{2019}}\\
& = \dfrac{1}{1} = 1
\end{aligned}
\]
性质二
内容：
\[|z| = |\overline z|\\
z \cdot \overline z= |z|^2
\]
即两个共轭复数它们的模长相等，一个复数和它的共轭复数相乘，结果为该复数模长的平方。
适用范围：当题目中同时出现 \(|z|\) 和 \(|\overline z|\) 时可以考虑该性质。
复数的三角形式
对于复数 \(z = a + bi\)，其复平面上对应的点为 \(Z(a,b)\)，设 \(|z| = r\)，向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 与 \(x\) 轴的夹角为 \(\theta\)，则复数 \(z\) 的三角表示为 \(z = r \cdot \cos \theta + r \cdot \sin \theta \cdot i = r(\cos \theta + i\sin \theta)\)。如图所示。
这里的 \(\theta\) 叫做 辐角 。任何一个非零复数 \(z\) 的辐角都有无穷多个。特别地，在 \([0,2\pi)\) 内的辐角称为 \(z\) 的 辐角主值 ，记作 \(\arg z\)。