几何方法求解n个自然数的平方和

几何方法求解n个自然数的平方和

对于n个自然数的平方和：S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2

在通过极限计算体积时常用到，现用几何方法求解一下：

取若干边长为1的立方体（单位立方体），一角对齐，按阶梯摆放，摆成4棱锥形状。

第1层：1^2=1个
第2层：2^2=4个
第3层：3^2=9个
………………
第n层：n^2个

则这个“阶梯”4棱锥体积：

**V = 单位立方体总数 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 **

为求解“阶梯”4棱锥的体积，把其补成一个完整4棱锥。

这个完整4棱锥的体积为：[(n+1)^3]/3

即边长为n+1的立方体的体积的1/3。（正方体可分割成6个相等的3棱锥，此4棱锥包含其中2个）

其补上部分为：

1：在阶梯4棱锥顶部增加一个小4棱锥，如图中的ABCDE，其体积为：1/3。

2：在每层的侧面增加对应3棱柱，如图第1层增加了CGL-BFK与CIL-DJM，各自体积为半个单位立方体，即1/2，各层递增。共增加了体积：

*2(11/2 + 21/2 + 31/2 + … + n1/2) = 1+2+3+…+n= (n+1)n/2

3：在每层中间部分增加一个小4棱锥，如图中的CGHIL，其体积为1/3。共增加了体积：

n*1/3

∴ “阶梯”4棱锥的体积为：*V=***[(n+1)^3]/3 - 1/3 - (n+1)n/2 - n1/3**

化简后可得：V= n(n+1)(2n+1)/6

即：S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6