抽象代数：对称群与Cayley定理

抽象代数：对称群与Cayley定理

对称群是抽象代数中的一个基本概念，它描述了有限集合上所有可能的排列。Cayley定理则进一步揭示了每个群都可以表示为对称群的子群，这一发现深刻地揭示了对称性在群论中的核心地位。本文将从对称群的定义出发，通过具体例子逐步展开，最终证明Cayley定理。

定义令$$\underline{n}={1,\ldots,n}.$$
则$$\mathrm{Aut}_{\text{set}}(\underline{n})=:S{n}$$是$n$个元素的集合上的对称群(symmetric group)。

例下面是对称群的例子:

• $n=1$: $\mathrm{Aut}({1})$是有一个元素的群:$$\begin{aligned}S_{1}&={\text{双射}~{1}\to{1}}&={\mathrm{id}_{\underline{1}}}\end{aligned}$$

• $n=2$: $\mathrm{Aut}({1,2})$是由两个元素的群:$$S_{2}=\left{\left(\mathrm{id}:\begin{aligned}1\mapsto 1\2\mapsto 2\end{aligned}\right),\left(\sigma:\begin{aligned}1\mapsto 2\2\mapsto 1\end{aligned}\right)\right}$$其满足$$\sigma\circ\sigma=\sigma^{2}=\mathrm{id}.$$

• $S_{3}$有$3!$个元素。我们将很快学到它的结构。

• 一般地, $S_{n}$是有$n!$元素的群。

定义集合$G$上的对称群是从$G$到其自身的所有双射构成的群：$$\mathrm{Sym}(G) = \mathrm{Aut}_{\text{set}}(G).$$
该群包含了$G$的所有元素的排列。当$G$是一个包含$n$个元素的有限集合时，$\mathrm{Sym}(G)$本质上与$S_n$相同，但这种推广允许我们考虑任何集合$G$上的排列，不论其基数大小。

对称群在群论的研究中是基本的，因为它们通过涵盖有限集合的所有可能排列，捕捉了对称性的本质。令人感兴趣的是，每个群，无论是有限的还是无限的，都可以表示为排列群的一个子群。这一深刻的联系由Cayley定理形式化了。

定理 (Cayley定理)每个群$G$同构于集合$G$上的对称群$\mathrm{Sym}(G)$的一个子群。

证明：令$G$为任意群。我们的目标是构造一个单射群同态$\phi: G \to \mathrm{Sym}(G)$，从而证明$G$同构于$\mathrm{Sym}(G)$的一个子群。

对于每个元素$g \in G$，定义一个由左乘法确定的函数$L_g: G \to G$：$$L_g(h) = g h \quad \text{对于所有 } h \in G。$$由于$G$是一个群，每个$L_g$都是一个双射（其逆为$L_{g^{-1}}$），因此$L_g \in \mathrm{Sym}(G)$。

定义映射$\phi: G \to \mathrm{Sym}(G)$为$$\phi(g) = L_g.$$

• 同态性质：对于所有$g_1, g_2 \in G$和$h \in G$，$$\phi(g_1 g_2)(h) = L_{g_1 g_2}(h) = (g_1 g_2) h = g_1 (g_2 h) = L_{g_1}(L_{g_2}(h)) = (\phi(g_1) \circ \phi(g_2))(h).$$因此，$\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \circ \phi(g_2)$，所以$\phi$是一个群同态。

• 单射性：假设$\phi(g) = \phi(h)$，对于某些$g, h \in G$。那么对于所有$k \in G$，$$L_g(k) = L_h(k) \implies g k = h k。$$特别地，当$k$是$G$的单位元$e$时，$$g e = h e \implies g = h.$$因此，$\phi$是单射的。

由于$\phi$是一个单射同态，$G$同构于$\mathrm{Sym}(G)$的子群$\phi(G)$。$$~\tag*{$\square$}$$

Cayley定理揭示了每个群都可以看作是排列的群，强调了对称群在理解所有群的结构中的核心作用。