平面的点法式方程
平面的点法式方程
平面的点法式方程是解析几何中的一个重要概念，它通过空间中一点和一个法向量来确定平面的位置。本文将详细介绍平面的点法式方程的定义、推导过程及其应用，帮助读者深入理解这一重要数学工具。
在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程 一一曲线方程的概念. 同样，在空间解析几何中，任何曲面都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹, 动点的轨迹也能用方程来表示，从而得到 曲面的概念.
平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具， 在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.
由中学立体几何知道，过空间一点，作与已知直线垂直的平面是唯一的. 因 此，如果已知平面上一点及垂直于该平面的一个非零向量，那么这个平面的位置 也完全确定了.
如下图，${M}_{0}M$直线在绿色平面内，过$M$点有一个法向量$\stackrel{\to }{n}$,如果知道了$M$坐标和$\stackrel{\to }{n}$就可以确定绿色平面。
现在，根据这个几何条件来建立平面的方程.
平面的法线向量的定义
首先我们给出平面的法线向量的定义: 如果一个非零向量垂直于一个平面，则该向量就称为该平面的法线向量 (简称平面的法向量). 凡与某一平面垂直的向量，均可称为该平面的法向量. 显然，一个平面的法向量，有无穷多个，它们之间互相平行，且法向量与平面上的任何一个向量都垂直 (见图 5-33).
设 ${M}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}\right)$ 是平面 上的一个定点，且已知该平面的法向量 $\mathbit{n}=\left(A,B,C\right)$ ， 则对于平面上的任一点 $M\left(x,y,z\right)$ ，由于向量 ${M}_{0}M=\left(x-{x}_{0},y-{y}_{0},z-{z}_{0}\right)$ ，必有 $\stackrel{\to }{{M}_{0}M}\perp \mathbit{n}$ ，于是由向量垂直的充要条件，有 $\stackrel{\to }{{M}_{0}M}\cdot \mathbit{n}=0$ ，即
$A\left(x-{x}_{0}\right)+B\left(y-{y}_{0}\right)+C\left(z-{z}_{0}\right)=0$
$A\left(x-{x}_{0}\right)+B\left(y-{y}_{0}\right)+C\left(z-{z}_{0}\right)=0...\left(1\right)$
式 (1) 是以 $x,y,z$ 为变量的三元一次方程，从 上面的推导过程可以看到，平面 $\mathrm{\Pi }$ 上任意一点 $M\left(x,y,z\right)$ 的坐标 一定满足方程，而若点 $M\left(x,y,z\right)$ 不在平面上，则 $\stackrel{\to }{{M}_{0}M}$ 与 $\mathbit{n}$ 不垂直，即 $\stackrel{\to }{{M}_{0}M}\cdot \mathbit{n}e 0$ ，即点 $M\left(x,y,z\right)$ 不满足方程. 因 此式
(1) 就是平面 面上的一个点 ${M}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}\right)$ 和他的一个法向量 $\mathbit{n}=\left(A,B,C\right)$ 的条件下得到的式 (1) 的，因此式 (1) 又称为 平面的点法式方程 .
例题解析
例1 求过点 $\left(2,3,1\right)$ 且与 $\mathbit{n}=\left(-1,-2,0\right)$ 垂直的平面的方程.
解 根据平面的法向量的概念，向量 $n=\left(-1,-2,0\right)$ 即为所求平面的一个法向 量. 所以由平面的点法式方程可得
$-1×\left(x-2\right)+2×\left(y-3\right)+0×\left(z-1\right)=0，$
即
$-\left(x-2\right)+2\left(y+3\right)=0\text{， 或}x-2y-8=0\text{.}$
例2 求过点 ${M}_{1}\left(1,-1,-2\right)、{M}_{2}\left(-1,2,0\right)$ 及 ${M}_{3}\left(1,3,3\right)$ 的平面的方程.
解 由于三点 ${M}_{1},{M}_{2},{M}_{3}$ 均在平面上，所以 $\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{2}},\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{3}}$ 与平面平行，由向量积 的概念可知，向量 $\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{2}}×\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{3}}$ 与 $\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{2}},\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{3}}$ 都垂直，即与所求平面垂直，因此 它是平面的一个法向量 (见图 5-34)，
而
$\begin{array}{c}\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{2}}=\left(\left(-1\right)-1,2-\left(-1\right),0-\left(-2\right)\right)=\left(-2,3,2\right)\text{，}\\ \stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{3}}=\left(0-0,3-\left(-1\right),3-\left(-2\right)\right)=\left(0,4,5\right)，\end{array}$
取 $\mathbit{n}=\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{2}}×\stackrel{\to }{{M}_{1}{M}_{3}}=|\begin{array}{ccc}\mathbit{i}& \mathbit{j}& \mathbit{k}\\ -2& 3& 2\\ 0& 4& 5\end{array}|=\left(7,10,-8\right)$ ，则平面方程为 $7\left(x-1\right)+10\left(y+1\right)-8\left(z+2\right)=0$ ，即 $7x+10y-8z-13=0$.