三元线性方程的几何表示及其交集性质

三元线性方程的几何表示及其交集性质

三元线性方程是线性代数中的一个重要概念，它在三维空间中表示一个平面。本文通过具体的方程示例，详细解释了三元线性方程的几何表示及其交集的性质，帮助读者直观地理解这一抽象的数学概念。

假设有一个三元一次方程，x+4y+z=8，我们要如何在直觉上考察它呢？

我们先画一个三维直角坐标系：

上面提到的那个方程在三维空间中表示什么呢？一条直线还是一个平面？

答案是它表示一个平面。

那么要如何在三维上画出这个平面呢？一个简单的方法是先计算出各个变量的截距，设其他2个变量为0，可求出第三个变量的截距，(x, y, z)截距如下

(8, 0 0) x截距=8
(0, 2, 0) y截距=2
(0, 0, 8) z截距=8

我们在坐标系上画上对应的点并将其连接起来，就画出了该平面，但是这个平面不止这个三角形，它是向四周无限延伸的，这里只是该平面于第一卦限的截面。

然后我们再进一步思考一下，如果有2个三元线性方程，它们的交集在三维坐标系中表示什么呢？

我们引入另外一个方程 x+y+3z=3

我们在坐标系中画出这个平面

可以看到这2个方程的交集是一条直线，或者说在这条直线上的点同时满足这2个方程。

那么更近一步，如果我们加入第三个三元线性方程或者说第3个平面，它们的交集会是什么呢？

比如我们引入 -x-y-z=0，他们的交集将会是一个点，这个点同时满足这3个方程，因为画图复杂度提升，这里就不再展示添加第三个平面的示例。

所以我们可以总结以下，3个两两不重合、不平行的平面，在三维空间中的交集会是一个点，也就是这个三元方程组的解。