基于MATLAB的Bode图判断系统稳定性、稳定程度、系统性能
基于MATLAB的Bode图判断系统稳定性、稳定程度、系统性能
Bode图是控制系统分析中常用的工具，通过Bode图可以直观地判断系统的稳定性、稳定程度和系统性能。本文将详细介绍如何使用MATLAB进行Bode图分析，包括Bode曲线与Nyquist曲线的关系、对数稳定判据、系统稳定程度研究以及开环对数幅频特性分析系统性能等内容。
Bode曲线与Nyquist曲线的关系
Nyquist稳定性主要看Nyquist曲线绕（-1，j0）点的圈数N，与开环传递函数极点P是否相等。若相等Z=0则系统稳定，若不相等Z>0则系统不稳定。
Bode图中，当相角为-180°时，对应的频率为相角交界频率；当幅值为0dB时，对应的频率为截止频率。过（-1，j0）点时，相角为-180°。若包围（-1，j0）点，则需要看的是：L(w)>0，相角是否穿越-180°。
对数稳定判据
P-Z=N
N=(N+-N-)/2
N+：相位角度增加方向穿越-180°次数；
N-：相位角度减少方向穿越-180°次数。
当相角贴着-180°时，N+/N-=1/2，N+贴在-180°上方，N-贴在-180°下方。若Z = 0，系统稳定，若Z>0，系统不稳定。
系统稳定程度研究
分析域 | 稳定边界 | 稳定程度 |
|---|---|---|
时域 | 虚轴 | 阻尼比：临界稳定，越大越稳定 |
频域 | （-1，j0）点 | 到（-1，j0）点的距离，距离越远越稳定稳定裕度 |
稳定裕度的定义与意义：表征闭环传递函数的稳定程度，直接表征了系统动态性能指标超调量、调节时间等的好坏。
- 截止频率：此时对应的相角裕度γ；
- 相角交界频率：所对应的幅值裕度（开环模的倒数）h。
稳定裕度的计算：假设传递函数为G(s)，则幅值裕度和相角裕度可通过MATLAB绘制Nyquist曲线和Bode图得到，其代码实现如下：
sys=tf(100,conv([conv([1 0],[1 2])],[1 10]));
nyquist(sys);
v = [-1.5 0 -1.5 0.5];%限值坐标轴，全绘制出来，坐标轴过大，不好观察
axis(v);
margin(sys)
[h,gama,wg,wc]=margin(sys)
hdb = 20*log10(h)
wchz= wc/(2*pi)
wghz = wg/(2*pi)
Nyquist曲线：
Bode图：
从绿色框线中可以得到：幅值裕度为GM=7.6dB，转化为数值 h = 2.398，即幅值最大取2.398，相角交界频率为：wg=4.47rad/s，转化为Hz，则为wg=4.47/(2*pi) = 0.7114Hz；相角裕度γ=19.9°，截止频率wc。
一般要求：相角裕度>40°，幅值裕度>2（6DB）
- 相角裕度物理意义：系统在相角（时间延时）上距离临界稳定，还存在的储备量。
- 幅值裕度物理意义：系统在幅值（开环增益K）上距离临界稳定，还存在的储备量。
开环对数幅频特性分析系统性能
三频段理论
假设开环传递函数的对数频域特性曲线L(w)如图所示：
- 截止频率前后，中频段；
- 第一个转折频率前，低频段；
- 最后一个转折频率前，高频段。
- 低频段渐近线与闭环系统稳态误差的关系
低频段决定系统型别，决定闭环系统稳态误差。低频段型越高，bode图斜率越高、陡，则稳态误差越小。
- 中频段特性与系统动态性能的关系
一般地，(wc-10,wc+10)可以认为是中频段。
- -20dB/dec 相角归宿-90°
- -40dB/dec 相角归宿-180°
- -60dB/dec 相角归宿-270°
- -80dB/dec 相角归宿-360°
斜率决定归宿，范围决定归宿的程度。相角最大的地方，是看谁的斜率最大且管辖范围宽。
以-20dB/dec 穿过0dB线，能达到比较好的闭环系统动态性能。
典型二阶欠阻尼系统开环传递函数为：
相角裕度γ，只和阻尼比有关，超调量σ%，也只和阻尼比相关，当系统相角裕度确定时，则系统的超调量也确定了。查图法求解得到超调量，已知相角裕度，找到对应的阻尼比，进而得到系统超调量。
- 高频段特性与闭环系统抗干扰能力
Bode表征的是开环传递函数高频段的抗干扰能力，但同时也说明了闭环传递函数高频段的抗干扰能力。
高频段下降速度越快越好。
10wc可认为是高频段。通常，ω>>wc，因此在高频段，可以用开环频率特性直接表征闭环频率特性。
bode图上表现为截止频率wc以后，bode图中幅值曲线斜率越大，越陡，抗干扰能力越强。