平均值不等式的二十种证明思路和三十多种证明方法，你能看懂多少？

平均值不等式的二十种证明思路和三十多种证明方法，你能看懂多少？

平均值不等式是数学中一个十分基本的不等式，其证明也一直被人所研究，不断有人从不同的角度开创出新的证明方法，从而促进了数学的发展。本文将介绍平均值不等式的二十种证明思路和三十多种证明方法，适合数学爱好者和研究者参考。

平均值不等式，是数学中一个十分基本的不等式，其证明也一直被人所研究，不断有人从不同的角度开创出新的证明方法，从而促进了数学的发展。匡继昌著作《常用不等式》中收录了几十种平均值不等式的证明方法，可谓五花八门。

下面将这些证明方法的大概思路和要点列了出来。敢问诸位高手，能想通多少种证明方法？

开始之前先介绍一下背景知识。所谓平均值不等式，是说：设
是一组非负实数，则有
其中，不等号左边被称为
的算术平均数，记作
；不等号右边被称为
的几何平均数，记作
.

如果
，该不等式就会变成我们熟知的基本不等式：
的证明是很简单的，两边平方后，整理得
，这是显然的，即证。我们的问题是：如何证明
式？

顺带一提，这个不等式可以进行各种各样的推广和拓展，比如加权，比如推广到无穷多项，比如积分形式，比如把它们拿去跟各种各样的平均数进行比较。这些我们都先不讨论，我们现在只讨论平均值不等式的证明。

本文默认大家有一定的微积分基础——当然，就算不懂微积分也没有关系，部分思路只需要初等数学水平的知识。对于一些大家可能不是那么熟悉的概念和结论，我会加以说明。顺带一提，以下讨论中，我们的思路并不是越往后越难、越晦涩，因此，请大家尽量看到最后。此外，思路八、十一、十二、十三、十七涉及平均值不等式的推广，值得好好研究！

先约定一下符号：有时也会把
写成
。记
。

思路一：数学归纳法

其中涉及众多技巧，因此证明方法也有十几种。

约定一下记号：默认情况下我们是从n推n+1，对于那些从n−1推n的，在前面标上“(-1)”。

由于这些方法来源都有所不同，记号还可能有一个混乱之处，请大家自行辨别：

到底是等于
除以
，还是除以
，还是除以
？

1. 利用反向归纳法。
2. 利用归纳假设，证明：，进而证明。
3. 若，则，考虑。
4. 利用Young不等式，得到。
5. 令，证明。证明方法是我们非常熟悉的求导法。就算不熟悉求导法，也可以用因式分解的方法直接证出来。
6. 不妨设。若，证明，再利用归纳假设，证明，最后从这两个式子导出.
7. 令，研究它的性质。
8. 利用，并多次使用二元的均值不等式和数学归纳法。
9. (-1)《常用不等式》作者匡继昌于2019年利用归纳法和二项式定理导出了一个初等不等式：在其中，令。（此法较难，不易想出，具体证明可以参考匡先生的文章）
10. (-1)利用初等不等式令，并注意到。
11. 令，考虑其最小值。
12. 考虑证明其中第二个不等号要用到伯努利不等式：

思路二：多项式展开

注意到
以及
其中
同时
尝试由此证明
思路三：利用积分形式的Hölder不等式

首先介绍一下积分形式的Hölder不等式：设
。若
是定义在
上的函数，定义
则有
，这就是积分形式的Hölder不等式。

回到平均值不等式的证明思路。利用
，可尝试证明
。

思路四：利用拉格朗日乘数法

用拉格朗日乘数法，求关于
的函数
在
这一约束条件下的最大值。

思路五：动态规划的函数方程法

具体证明参见[1]。其思路是假设这些数的算术平均数
取定，求出几何平均数的最大值——这是
的函数——关于n的状态转移方程，然后得到它的表达式。信息竞赛生应该会比较熟悉这种思想。

思路六：利用S凸函数的性质

首先介绍一个概念。设
。将
按降序重新排序成
。对于y也这么做。若
；但
，则称x被y所优超，记作
。

有了这个概念之后，就可以引出S凸函数的定义和性质了：
摘自[2]
可以验证
满足上面的两个条件，从而是S凸函数。根据S凸函数的定义，容易证明
恒非负——好吧，其实不是很容易。

思路七~十：利用一些简单的不等式

1. 利用。令，两边作积。
2. 利用，可以证明加权形式的平均值不等式：若正实数满足，定义加权的算术平均数和几何平均数则。很显然，这是普通的平均值不等式的推广。证明方法是在中令，两边乘后求和。
3. 利用。令，求和。
4. 利用不等式，令，观察得到的结果。本质上跟思路一中的第10种方法类似，但更直观，注意力可以涣散一点。（B站这逆天的公式排版……）

思路十一：利用函数单调性

试证明：函数
在
上严格递增（此时
为不全相等的正数）。实际上，这个结论也是平均值不等式的加强。

思路十二：利用凸函数的Jensen不等式

这是中学数学竞赛和大学数学分析中的经典方法，但同样可以证明加权形式的平均值不等式。对
式两边取对数，然后证明 y=ln x 是凸函数，直接得到结论。

思路十三：利用积分的性质

这个思路同样也能巧妙地证明加权形式的平均值不等式。不妨设
，若
，证明：

思路十四：概率证法

本质上跟思路十二相同，不再列出。

思路十五：利用排序不等式

首先利用排序不等式（倒序和≤乱序和≤正序和）证明
然后，取
。

还是解释一下排序不等式吧。这个不等式在某种程度上诠释了“公平”和“效率”之间的关系，大家可以体会一下这是为什么。

设有两组数
；
是自然数1到m的任意一个排列。则
即“倒序和≤乱序和≤正序和”。

思路十六：利用一个函数不等式

首先证明
然后令
。

思路十七：一种新的形式

参考[3]。

思路十八~三十二

这一段《常用不等式》中没有列出，只提供了参考文献，现列出出处。

在[4]的6~12页中，提到了几何方法、优化方法、Hurwitz方法、初等对称函数法、恒等式法、泛函方程法、逐步调整法；

在[5]中，第308309页提到了幂级数法；407页提到了松弛法；449页提到了支撑函数法；515516页提到了降维法；650651页提到了矩阵方法；4849，562563页提到了利用热力学定律的方法；4950页提到了反证法；240~241页提到了极值方法。

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本文首发于知乎https://www.zhihu.com/question/422748838/answer/3424762982

参考文献：

[1]https://zhuanlan.zhihu.com/p/685850732

[2]http://staff.ustc.edu.cn/~shmj/Handout/Chapter5-3.pdf

[3]J. Math. Anal. Appl. (Journal of Mathematical Analysis and Applications)1997,(215):577~578

[4]Beckenbach,E. F. ,Bellman,R. , Inequalities,Springer-Verlag

[5]王挽澜，《建立不等式的方法》（哈尔滨工业大学出版社，2011）