理解单射函数

理解单射函数

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/nvd11/article/details/144494203

单射函数是数学中的一个重要概念，它描述了一种特殊的函数关系，即不同的输入值对应不同的输出值。本文将从定义出发，通过多个具体的函数示例，帮助读者深入理解单射函数的特性。

单射(injective)定义

单射函数（Injective Function）是指一种函数，它满足以下条件：
对于任意两个不同的输入值 x1 和 x2，如果 x1 ≠ x2，则函数的输出值 f(x1) 和 f(x2) 也必须不同，即 f(x1) ≠ f(x2)。
换句话说，单射函数是指一个函数，它将不同的输入值映射到不同的输出值。

公式定义：
∀ x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

单射函数的一些例子

1. 常见的一次函数(线数)

下面这个函数就是一个单射函数：
f(x) = 3x + 1, x ∈ R

2. 3次函数

f(x) = x^3 + 1, x ∈ R

单射函数的主要特征

从函数图像大概可以得知，单射函数随着x -> 增大，y的值是始终有个增加方向的，从图像得知，函数图像始终朝着1个方向，要么向上，要么向下，不能回头。
但是这个特征不是绝对的，只适用于连续的函数图像.
例如下面的单射函数就不符合上面的特征了

f(x) = 1/x, x ∈ R ∧ x ≠ 0

非单射函数的一些例子

1. 常函数

f(x) = 3
这种无论x 取什么值，y都是固定值，在函数图像的展示就是1条直线，违反了单数函数的定义

2. 二次函数(抛物线)

例子：
f(x) = x^2 -4
当x = −√7 或者√7 时 f(x)的值 都等与3, 违反了单射函数的定义

3. 正弦函数

f(x) = sin(x)
更加明显了，多个循环，只要x 是π的整数倍，f(x) 的值都是0