线性代数--矩阵基本计算（加减乘法）

线性代数--矩阵基本计算（加减乘法）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_51216031/article/details/134521526

目录
一、矩阵的基本概念
1、行矩阵与列矩阵
2、零矩阵
3、负矩阵
4、方阵
1）、方阵的定义
2）主对角线和次对角线
5、单位阵
6、只有一个数字的矩阵
7、同型矩阵
二、矩阵与行列式的区别
三、矩阵的运算
1、加法、减法
2、数乘运算
四、矩阵乘法
1、矩阵的乘法
2、矩阵乘法不满足的三条规律
3、矩阵乘法的运算规律
4、矩阵的可交换
五、矩阵的幂运算
六、简单的矩阵运算，学到的知识点运用起来。

一、矩阵的基本概念

矩阵本质上是一个数表，用
表示，代表一个m*n的矩阵，有m行n列。
矩阵的运用场景非常多，例如关系的表示等。
如下图就是一个4行4列的矩阵。

1、行矩阵与列矩阵

只有1行的矩阵叫做行矩阵
只有1列的矩阵叫做列矩阵

2、零矩阵

矩阵内的所有元素都是0，记作O

3、负矩阵

把原来矩阵的所有元素都取负号，为相反数，称为负矩阵。
例如
的负矩阵为
。

4、方阵

1）、方阵的定义

行数等于列数的矩阵称为方阵，一般也称为n阶矩阵，即
，亦
例如下面这个矩阵，就是三行三列的矩阵。

2）主对角线和次对角线

只有在方阵中才有对角线的概念。如图：

5、单位阵

对角线为1，其余元素为0，这种矩阵称为单位矩阵。记作E。

6、只有一个数字的矩阵

只有一个数字的矩阵也是矩阵，可视作特殊的矩阵。
例如：[5]

7、同型矩阵

两个矩阵形状一样，称为同型矩阵。即行数和列数相等。
例如：
和
就是同型矩阵。
如果同型矩阵的对应元素相等，那么两个矩阵相等。即相等矩阵的前提是同型矩阵。

二、矩阵与行列式的区别

1、本质上，矩阵是一个数表，而行列式是一个数。
2、符号：矩阵使用
或者 [ ]，而行列式使用
3、形状上，矩阵不一定是方阵，但是行列式一定是一个方阵，即行数等于列数。

三、矩阵的运算

1、加法、减法

对应元素相加减。（注意：只有同型矩阵才能相加减）
矩阵加减法满足的运算法则也很简单:
A+B=B+A
(A+B+C) = A+(B+C)
A+(-A)=0
A+B = C
A = C - B

2、数乘运算

k乘以矩阵的所有元素。
矩阵数乘和行列式的区别
矩阵提公因子：矩阵所有元素均有公因子，公因子朝外提一次
行列式提公因子：一行（或者一列）提取一次，如果所有元素都有公因子，有n行则提n次。
矩阵数乘满足的运算规律：
k(A+B) = kA + kB
(k+m)A = kA + mA
k(mA) = kmA

四、矩阵乘法

1、矩阵的乘法

第一行乘以第一列，先相乘后相加。
矩阵相乘的前提条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
结果矩阵的形状：结果矩阵的行等于第一个矩阵的行数，结果矩阵的列数等于第二个矩阵的列数。
宋氏七字：中间相等取两头！宋浩线代飞上天！
例如：

• 的结果矩阵就是2*2的方阵。
  这个实在太刁了，哥们忍不住吟诗一首：
  咏宋浩七字口诀
  【现】
  不用动脑经，不用花一秒。
  捏决拿咒间，单走一个6字。
  中间相等两头取，宋浩线代飞上天！
  从此不愁线代妖，可喜可贺上大分！
  
  做两个小题目练练手：
  **
• =
  **

• =

2、矩阵乘法不满足的三条规律

**1）AB != BA 一般不满足交换律 **
例如：
可以相乘，满足中间相等。但是
就不可以，因为3和5中间不相等
矩阵乘法一般来说不满足交换，但是也存在交换的情况，此时满足AB = BA,这种情况叫做AB可交换
2）AB = 0 ，且A ！= 0 不能推出 B = 0
如果是数字运算中，xy = 0，可以推出x/y = 0；但是在矩阵运算中不可以
3）AB = AC ,且A ！= 0不能推出B = C
同样的，在数字运算中，3x= 3y可以推出x=y，但是在矩阵运算中不可以
总结矩阵不满足的三条规律：
(1)AB ! = BA;
(2)AB = AC,A!=0 不能推出 B = C;
(3)AB = 0 不能推出A =0或B = 0;
（任何矩阵和0矩阵相乘都等于0矩阵，由于矩阵乘法的特殊性，需要注意0矩阵的形状）

3、矩阵乘法的运算规律

1）结合律 (AB)C = A(BC)
2)分配律 (A+B)C = AC + BC C(A+B) = CA + CB （注意，由于矩阵乘法的特殊性，矩阵的左右位置是有严格意义的，不能随意换，即矩阵的乘法不满足交换律）
3）k(AB) = (kA)B = A(kB) 对于一个数字来说，位置可以随意放置
（注意，对于上述三个运算规律来说，要保持矩阵乘法的先后位置，左乘和右乘的位置不能变）

4、矩阵的可交换

当AB = BA ，即A与B可以交换。当题目给你A与B可交换时，就在提醒你AB = BA
（相等矩阵：同型矩阵对应元素相等）
可交换的前提必须是同型方阵。
否则：例如

AB的结果矩阵是2✖2的矩阵

BA的结果矩阵式3✖3的矩阵
这里结果明显是不相等的！所以，如果不是同型方阵是不可以交换的。首先结果矩阵的形状就要出错

五、矩阵的幂运算

（注意：矩阵的幂运算必须是方阵,保证连续运算）
矩阵的幂运算：
= AA...A
其中
= E
性质1）

性质2）

(再次注意：矩阵的乘法不满足交换律)
**
! =
**
例如：
!=
为什么不相等？
因为：
= ABAB
= AABB
我们永远要记住：矩阵的乘法不满足交换律，因此上式明显式不相等的。
除非AB可交换，即AB = BA.
同时：
**
!= **
+2AB+
证明：(A+B)(A+B) = (A+B)A + (A+B)B =

• BA + AB +
  很明显，2AB ！= BA + AB
  同理：
  !=

• 2AB+
  证明：(A-B)(A-B) = (A-B)A - (A-B)B =
• BA - AB +
  很明显，2AB ！= -BA - AB
  永远记住！！！！！！！
  矩阵乘法要严格注意AB的先后位置，位置的变化是会影响运算结果的
  （因为矩阵的乘法是第一个矩阵的行 乘以 第二个矩阵的列）
  但是，对于
  =

+AE + EA +

• AE - EA +
  对于上两式来说，
  任何矩阵乘以单位阵E的等于其本身，而对于单位阵来说，左乘和右乘是一样的。
  故而，AE = EA , BE =EB
  所以：
  =

• 2AE +

• 2AE +
  是成立的！

六、简单的矩阵运算，学到的知识点运用起来。

例如
给两个方程组：x1 = y1 -y2 y1 = z1 + z2 + z3
x2 = y1 + y2 y2 = z1 -2z2 + z3
要求x1 和 x2 用z1 z2 z3表示