十字相乘法的定义、原理及应用实例

十字相乘法的定义、原理及应用实例

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/lOPCcqK6pt.html

十字相乘法是因式分解中常用的一种方法，尤其适用于二次三项式的分解。本文将详细介绍十字相乘法的定义、原理，并通过具体例题帮助读者掌握这种方法。

十字相乘法的定义和原理

1. 十字相乘法
   十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，其他十三种方法包括提公因式法、公式法、双十字相乘法等。这种方法在处理特定类型的多项式时非常有效。

2. 原理
   十字相乘法的核心思想是：将二次项系数分解为两个因数的乘积，将常数项分解为两个因数的乘积，同时确保交叉相乘的和等于一次项系数。具体来说，对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的多项式，如果能找到 $a_1, a_2, c_1, c_2$ 使得 $a = a_1a_2$，$c = c_1c_2$，且 $a_1c_2 + a_2c_1 = b$，那么就可以将多项式分解为 $(a_1x + c_1)(a_2x + c_2)$。

   这种方法的关键在于观察和尝试，其本质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，可能需要多次尝试才能找到合适的分解方式，同时要注意各项系数的符号。

3. 判定
   对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的多项式，可以使用 $\Delta = b^2 - 4ac$ 来判断是否可以在整数范围内使用十字相乘法。当 $\Delta$ 为完全平方数时，说明可以在整数范围内进行十字相乘分解。

相关例题

例题

解一元二次方程 $x^2 - x - 2 = 0$。

A. $x_1 = 1$，$x_2 = 2$
B. $x_1 = 1$，$x_2 = -2$
C. $x_1 = -1$，$x_2 = -2$
D. $x_1 = -1$，$x_2 = 2$

解析

使用十字相乘法分解因式：
$$
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0
$$
解得：
$$
x_1 = -1，x_2 = 2
$$
因此，正确答案是 D。