概率论与数理统计基础：随机事件与概率

概率论与数理统计基础：随机事件与概率

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/2401_84017209/article/details/142262238

概率论与数理统计基础：随机事件与概率

1.1 随机事件

1.1.1 随机试验与样本空间

随机试验具有不确定性、偶然性或随机性。随机试验（E）的三个特点：

1. 重复性（可在相同条件下重复进行）
2. 明确性（在实验之前知道所有可能的结果）
3. 随机性（每次试验的结果都具有随机性）

确定性试验结果外在表现为确定性现象或必然现象；随机试验的外在表现为随机现象或偶然现象。

随机现象的统计规律性：在大量的重复试验或观察中，随机现象呈现出某种固有的规律性。（大量的偶然之中存在着必然的规律）

一个随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为 S 或 Ω。样本空间中的每个元素 ω，即试验的每个可能结果，称为该试验的样本点。（ω ∈ S）

例如，有限样本空间 S={1,2,3,4,5,6} 和无限样本空间 S={ t | t > 0 }。

1.1.2 随机事件

随机事件是试验的若干个可能组成的集合（样本空间的某些子集合 A，注意和样本点区分）。常用 A，B，C，... 表示；并且用同一个字母加下标的方式来表示几个事件具有同类属性，如 A1，A2，...，An，...。

只有一个样本点所构成的随机事件是基本事件；一定会发生的事件是必然事件；不可能事件记为 ∅。

注：在一次试验中，当且仅当这一集合中的一个样本点出现时（一个基本事件发生），称这一事件发生。

1.1.3 事件之间的关系

1. 包含关系
   若事件A发生必然导致事件B发生；事件B不发生时，A必不发生；则称事件A包含于事件B，记为 A ⊆ B。

结论：对于任一事件A，总有 A ⊆ S。

2. 相等关系
   A、B两个事件同时发生或同时不发生，记为 A = B 且 B = A。

相等的事件：同一事件的不同表述。

1.1.4 事件的运算

1. 事件的乘积
   “事件A与B同时发生”的事件称为事件A与B的乘积，记为 A ∩ B（或AB）。

“∩” 表示“且”、“都”、“同时”。

推广：

• (ABC)表示A,B,C同时发生；
• A1A2...An表示n个事件A1，A2，…，An同时发生；
• A1A2...表示可列个事件A1，A2，…，An，…同时发生。

性质：

• （1）A ∩ B = B ∩ A；
• （2）若 A ⊆ B，则 AB=A；
• （3）交换律：A ∩ B = B ∩ A

2. 事件的和
   “事件A与B中至少有一个发生”的事件称为事件A与B之和，记为 A ∪ B（或A+B）。

或事件A发生，或事件B发生，或事件A和B都发生。

“∪” 表示“或”、“至少有一个”。

推广：

• A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An表示n个事件A1，A2，…，An中至少有一个发生。
• A1 ∪ A2 ∪ ...表示可列个事件A1，A2，…，An，… 中至少有一个发生这一事件。

性质：

• （1）A ∪ B = B ∪ A；
• （2）若 A ⊆ B，则 A ∪ B = B；
• （3）交换律：A ∪ B = B ∪ A；
• （4）交对并的分配律: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)；
• （5）并对交的分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)；

3. 事件的差
   “事件A发生且事件B不发生”的事件称之为A与B之差，记为A-B。

事件A与B的差分为一般差和真差。【若B不包含于A，A与B的差则为一般差，A - B；若 B ⊆ A,A-B的差则为真差】

注：事件的差运算A-B并未要求 B ⊆ A。

性质：

• （1）A - B = A ∩ B'；
• （2）A - B = A - (A ∩ B)；
• （3）A - B = A ∪ B'；
• 注：事件差不再是和的逆运算。【A - B ≠ B - A，eg：A - B ≠ B - A】

4. 互不相容
   事件A与事件B不可能同时发生，即 A ∩ B = ∅，则称事件A与事件B互不相容（或互斥）

推广：

• 如果n个事件A1，A2，…，An中任意两个事件不可能同时发生，即 Ai ∩ Aj = ∅，i ≠ j，则称这个n事件是互不相容的。

注：基本事件互不相容，反之未必；不可能事件∅与任何事件A都互不相容。

5. 对立（逆）事件
   设A表示“事件A发生”，则“事件A不发生”称为事件A的对立事件或逆事件，记为 A'。

性质：

• A ∪ A' = S，A ∩ A' = ∅，A' = A'；
• (A')' = A.

差化积公式：A - B = A ∩ B'

相互对立：若事件A与事件B满足条件 A ∩ B = ∅（不可能同时发生）且 A ∪ B = S（至少有一个发生），有且仅有一个发生，则称事件A与事件B相互对立。即 A = B' 或 B = A'。

相互独立事件与互不相容事件的区别：

对偶原则：(A ∪ B)' = A' ∩ B'，(A ∩ B)' = A' ∪ B'（并集的余集等于余集的交集，交集的余集等于余集的并集）好绕呀，看着有点晕😵
推广：
推广到有限个事件中：

• (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An)' = A1' ∩ A2' ∩ ... ∩ An'；
• (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An)' = A1' ∪ A2' ∪ ... ∪ An'；

6. 完备事件组
   如果一组事件A1，A2，…，An满足两个条件：
   ①两两互不相容 Ai ∩ Aj = ∅，i ≠ j；
   ②在每次试验中至少有一个发生 A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = S；
   则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。