参数方程（含摆线）

参数方程（含摆线）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_73836011/article/details/132253739

参数方程是描述曲线和运动轨迹的重要数学工具。本文将从直线参数方程、平面曲线参数方程以及摆线的参数方程三个方面，详细介绍参数方程的求解方法及其在不同场景下的应用。

直线参数方程

直线参数方程可以用来描述动点的运动轨迹。如图所示：

解法（引入参量t）

通过引入参量t，可以将直线方程表示为参数方程的形式。具体解法如下：

应用

例1：给定两平面，求交线参数方程

思路：确定两平面法向量，通过叉乘找到交线方向。再仿照例一思路，确定向量起点。取P0 = （0，1，0）。

例2：求过两点直线与平面交点

已知两点Q0（-1，2，2）和Q1（1，3，-1），以及平面方程x + 2y + 4z = 7，求直线Q0Q1与平面的交点。

先求直线参数方程，再代入平面方程中，求得线面相交时t的值，进而求得交点坐标。

平面曲线参数方程

摆线

摆线是原点随圆周滚动形成的曲线。其参数方程可以通过向量求法得到。

设P为摆线上一点，以BP相对AB转过角度为参量，可以写出向量OP的表达式，进而得到摆线的参数方程。

y=0时图像的确定

可以通过泰勒展开对x,y进行逼近，或者求x,y关于theta的二阶导数，来确定图像在原点处的性质。

弧长

类似于速率对时间求积分得出路程，可以求出摆线的弧长。

小例子：推导开普勒第二定律

开普勒第二定律指出，行星在椭圆轨道上运行时，其与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等。可以通过向量叉乘的方法来证明这一结论。

先用向量叉乘表示行星扫过三角形面积，然后证明r,v向量叉乘结果为常量，不随时间改变（即对t求导结果为0）。由于向量v自身叉乘为0，向量r与加速度同向，叉乘也为0，最终推出扫过面积不随时间改变，即开普勒第二定律。