微分方程的实际案例

微分方程的实际案例

微分方程是数学中一个重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。本文通过几个具体的实际案例，展示了如何建立微分方程模型并求解，帮助读者更好地理解微分方程在解决实际问题中的作用。

在这一节我们会用到工程上常用的双曲函数和反双曲函数.

(1)双曲函数:

$\mathrm{sh}x=\frac{{\mathrm{e}}^{x}-{\mathrm{e}}^{-x}}{2},\mathrm{ch}x=\frac{{\mathrm{e}}^{x}+{\mathrm{e}}^{-x}}{2},\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{{\mathrm{e}}^{x}-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^{x}+{\mathrm{e}}^{-x}}$ 分别称为双曲正弦、 双曲余弦和双曲正切.

(2)反双曲函数:

(1) $y=\mathrm{arsh}x$ 是 $x=\mathrm{sh}y$ 的反函数，反双曲正弦函数 $y=\mathrm{arsh}x=\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{{x}^{2}+1}\right)$;

(2) $y=\mathrm{arch}x$ 是 $x=\mathrm{ch}y$ 的反函数，反双曲余弦函数 $y=\mathrm{arch}x=\mathrm{ln}\left(x+\sqrt{{x}^{2}-1}\right)$ ；

(3) $y=\mathrm{arth}x$ 是 $x=\mathrm{th}y$ 的反函数，反双曲正切函数 $y=\mathrm{arth}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\frac{1+x}{1-x}$.

物体冷却案例

设一物体的温度为 ${100}^{\circ }\mathrm{C}$ ，将其放置在空气温度为 ${20}^{\circ }\mathrm{C}$ 的环境中冷却. 试求物体温度随时间 $t$ 的变化规律.

解 设物体的温度 $T$ 与时间 $t$ 的函数关系为 $T=T\left(t\right)$, 在第一节的例 1 中我们 已经建立了该问题的数学模型

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}T}{\text{}\mathrm{d}t}=-k\left(T-20\right)\\ {T|}_{t=0}=100\end{array}，$

其中 $k\left(k>0\right)$ 为比例常数. 下面来求上述初值问题的解. 分离变量，得 $\frac{\mathrm{d}T}{T-20}=-k\text{}\mathrm{d}t$

两边积分 $\int \frac{1}{T-20}\text{}\mathrm{d}T=\int -k\text{}\mathrm{d}t$, 得 $\mathrm{ln}|T-20|=-kt+{C}_{1}$ (其中 ${C}_{1}$ 为任意常数)， 即 $T-20=±{\mathrm{e}}^{-kt+{C}_{1}}=±{\mathrm{e}}^{{C}_{1}}{\mathrm{e}}^{-kt}=C{\mathrm{e}}^{-kt}$ (其中 $C=±{\mathrm{e}}^{{C}_{1}}\right)$.

从而 $T=20+C{\mathrm{e}}^{-kt}$, 再将条件代入，得 $C=100-20=80$,

于是，所求规律为 $T=20+80{\mathrm{e}}^{-kt}$.

注 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法 医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算 解决，等等.

降落伞下落案例

设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞 离开跳伞塔时 $\left(t=0\right)$ 速度为零，求降落伞下落速度与时间的关系.

解 设降落平下落速度为 $v\left(t\right)$, 降落伞下落时，同时 收到重力 $P$ 与阻力 $R$ 的作用(见图 4-3).

降落伞所受外力为 $F=mg-kv$.

根据牛顿第二定律: $F=ma$ ，得到 $v\left(t\right)$ 满足微分方程

$m\frac{\mathrm{d}v}{\text{}\mathrm{d}t}=mg-kv$

初始条件 ${v|}_{t=0}=0$. 将方程(1)分离变量得

$\frac{\mathrm{d}v}{mg-kv}=\frac{\mathrm{d}t}{m}$

两边积分得

$\begin{array}{rl}\int \frac{\mathrm{d}v}{mg-kv}& =\int \frac{\mathrm{d}t}{m},\\ -\frac{1}{k}\mathrm{ln}\left(mg-kv\right)& =\frac{t}{m}+{C}_{{1}^{\prime }}\end{array}$

即 $mg-kv={\mathrm{e}}^{-k\left(\frac{t}{m}+{c}_{1}\right)}$ 或 $v=\frac{mg}{k}+C{\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t}\left(C=-\frac{{\mathrm{e}}^{-k{C}_{1}}}{k}\right)$.

代入初始条件得 $C=-\frac{mg}{k}$ ，

故所求特解为 $v=\frac{mg}{k}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t}\right)$.

鸭子过河案例

设河边点 $O$ 的正对岸为点 $A$ ，河宽 $OA=h$ ，两岸为平行直线，水流速度 为 $a$ ，有一鸭子从点 $A$ 游向点 $O$ ，设鸭子(在静水中)的游速为 $b\left(b>a\right)$ ，且鸭子游 动方向始终朝着点 $O$ ，求鸭子游过的迹线的方程.

解 设水流速度为 $\stackrel{\to }{a}\left(|\stackrel{\to }{a}|=a\right)$, 鸭子游速为 $\stackrel{\to }{b}\left(|\stackrel{\to }{b}|=b\right)$, 则鸭子实际运动速度为 $\stackrel{\to }{v}=\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}$.

取坐标系如图 4-4 所示，设在时刻 $t$ 鸭子位 于点 $P\left(x,y\right)$, 则鸭子运动速度 $v=\left({v}_{x},{v}_{y}\right)=\left({x}_{t},{y}_{t}\right)$, 故有 $\frac{\mathrm{d}x}{\text{}\mathrm{d}y}=\frac{{x}_{t}}{{y}_{t}}=\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$. 现在 $\stackrel{\to }{a}=\left(a,0\right)$, 而 $\stackrel{\to }{b}=b{\mathrm{e}}_{\stackrel{―}{po}}$, 其中 ${\mathrm{e}}_{\stackrel{―}{PO}}$ 为与 $PO$ 同方向的单位向量.

由 $\stackrel{\to }{PO}=-\left(x,y\right)$, 故 ${\mathrm{e}}_{\stackrel{―}{PO}}=\frac{-\left(x,y\right)}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$,

于是 $\stackrel{\to }{b}=-\frac{b}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}\left(x,y\right),\phantom{\rule{1em}{0ex}}\stackrel{\to }{v}=\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}=\left(a-\frac{bx}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}},-\frac{by}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}\right)$. 由此得微分方程 $\frac{\mathrm{d}x}{\text{}\mathrm{d}y}=\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}=-\frac{a\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{by}+\frac{x}{y}$,

即

$\frac{\mathrm{d}x}{\text{}\mathrm{d}y}=-\frac{a}{b}\sqrt{{\left(\frac{x}{y}\right)}^{2}+1}+\frac{x}{y},$

初始条件为 ${x|}_{y=h}=0$. 令 $\frac{x}{y}=u$, 则 $x=yu,\frac{\mathrm{d}x}{\text{}\mathrm{d}y}=y\frac{\mathrm{d}u}{\text{}\mathrm{d}y}+u$, 代入上面的方程，得

$y\frac{\mathrm{d}u}{\text{}\mathrm{d}y}=-\frac{a}{b}\sqrt{{u}^{2}+1},$

分离变量得

$\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{{u}^{2}+1}}=-\frac{a}{by}\text{}\mathrm{d}y$

积分得

$\mathrm{ln}\left(u+\sqrt{{u}^{2}+1}\right)=-\frac{a}{b}\left(\mathrm{ln}y+\mathrm{ln}C\right),$

故

$x=\frac{y}{2}\left[\left(Cy{\right)}^{-\frac{a}{b}}-\left(Cy{\right)}^{\frac{a}{b}}\right]=\frac{1}{2C}\left[\left(Cy{\right)}^{1-\frac{a}{b}}-\left(Cy{\right)}^{1+\frac{a}{b}}\right].$

将初始条件代入上式得 $C=\frac{1}{h}$, 故所求迹线方程为

$x=\frac{h}{2}\left[{\left(\frac{y}{h}\right)}^{1-\frac{a}{b}}-{\left(\frac{y}{h}\right)}^{1+\frac{a}{b}}\right],0\le h\le y.$

商品价格调整案例

如果设某商品在时刻 $t$ 的售价为 $P$ ，社会对该商品的需求量和供给量 分别是 $P$ 的函数 $Q\left(P\right),S\left(P\right)$. 一般情况下，商品供给量 $S$ 是价格 $P$ 的单调递增函 数，商品需求量 $Q$ 是价格 $P$ 的单调递减函数，为简单起见，分别设该商品的供给 函数与需求函数分别为

S

其中 $a,b,\alpha ,\beta$ 均为常数，且 $b>0,\beta >0$.

当供给量与需求量相等时，由(1)可得供求平衡时的价格:

${P}_{e}=\frac{\alpha -a}{\beta +b}$

称 ${P}_{e}$ 为均衡价格.

一般地说，当某种商品供不应求，即 $S<Q$ 时，该商品价格要涨，当供大于求 即 $S>Q$ 时，该商品价格要落. 因此，假设 $t$ 时刻的价格 $P\left(t\right)$ 的变化率与超额需求 量 $Q-S$ 成正比，于是有方程

$\frac{\mathrm{d}P}{\text{}\mathrm{d}t}=k\left[Q\left(P\right)-S\left(P\right)\right]，$

其中 $k>0$, 用来反映价格的调整速度.

将(2)代入方程，可得

$\frac{\mathrm{d}P}{\text{}\mathrm{d}t}=\lambda \left({P}_{e}-P\right)$

其中常数 $\lambda =\left(b+\beta \right)k>0$, 方程(3)的通解为

$P\left(t\right)={P}_{e}+C{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\text{.}$

假设初始价格 $P\left(0\right)={P}_{0}$, 代入上式，得 $C={P}_{0}-{P}_{e}$, 于是上述价格调整模型的 解为

$P\left(t\right)={P}_{e}+\left({P}_{0}-{P}_{e}\right){\mathrm{e}}^{-\lambda t}.$

由 $\lambda >0$ 知， $t\to +\mathrm{\infty }$ 时， $P\left(t\right)\to {P}_{e}$. 说明随着时间不断推延，实际价格 $P\left(t\right)$ 将逐 渐趋近均衡价格 ${P}_{e}$.