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机器学习中的数学基础：对数详解

创作时间:

作者:

@小白创作中心

机器学习中的数学基础：对数详解

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/IT_ORACLE/article/details/143700441

对数是数学中一种重要的运算，它与指数密切相关。对数的主要功能是将乘法和除法转换为加法和减法，从而简化复杂的计算。以下是对数的基本概念、性质和应用。

1. 对数的定义

对数是指数的反运算。如果
，那么 b 被称为以 a 为底的 c 的对数，记作：
这里：

a 是底数，a > 0 且 a≠1
c 是对数的真数，c > 0
b 是对数的值

2. 常用对数

常用的对数有两种：

自然对数：以 e（约等于 2.71828）为底的对数，记作 ln(x)。
常用对数：以 10 为底的对数，记作 log(x)。

3. 对数的性质

对数具有以下重要性质：

(1). 乘法法则

公式：
推导：

假设
和
，则根据对数定义：
和
将两式相乘：
根据指数的性质
，可以写为：
两边取以 b 为底的对数：
代入
和
，得到：

(2). 除法法则

公式：
推导：

假设
和
，则根据对数定义：
和
将两式相除：
根据指数的性质
，可以写为：
两边取以 b 为底的对数：
代入
和
，得到：

(3). 幂的法则

公式：
推导：

假设
，则根据对数定义：
将 x 提到 y 次方：
根据指数的性质
，可以写为：
两边取以 b 为底的对数：
代入
，得到：

(4). 换底公式

公式：
(k 为新底数)
推导：

假设
，则根据对数定义：
两边取以 k 为底的对数：
根据对数与指数的性质，
，可以写为：
解出 M：
代入
，得到：

(5). 对数的特征值

公式：
和
推导：

**证明
**：

根据对数定义，
。
在指数性质中，任何数的 0 次幂等于 1，即
。
因此，
。

**证明
**：

根据对数定义，
。
显然，
时成立。
因此，
。

4. 对数的图像

对数函数的图像是定义在 x > 0 的单调递增函数，随着 x 的增大而增大，但其增长速度比线性函数慢。

对数函数的图像呈现出一个典型的弯曲形状，在数学上对数函数的常见形式为：
其中 b 是对数的底数，常见的底数包括自然对数的底 e 和常用对数的底 10。对数函数在不同底数下的表现有一些差异，但总体形状相似。

对数函数图像的性质

定义域和值域：对于
，定义域是 x > 0，也就是说，对数函数仅在正数上定义。值域则是所有实数
。
横截点：对数函数在 (1, 0) 处穿过 x 轴，即当 x = 1 时 y = 0，这是因为
（任何底数的 1 的对数都为 0）。
单调递增性：当 b > 1 时，函数是单调递增的，即随着 x 增加，y 的值也增加，但增速越来越慢（例如
）。相反，如果 0 < b < 1，对数函数会变成递减函数。
无界性：对数函数在正无穷趋近无穷，在接近 0 时趋向负无穷。
对称性：对数函数没有对称性，但它是幂函数的逆函数（如
与
互为逆函数）。

常见对数函数的图像

对数函数在不同底数下的图像大致有如下形式：

自然对数函数
：底数为 e，图像呈现典型的对数形状，过点 (1, 0) 且单调递增。
常用对数函数
：底数为 10，形状类似于自然对数但稍微平缓。

绘制对数图像的 Python 示例

以下代码可以用
matplotlib
库绘制对数函数的图像：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义 x 范围
x = np.linspace(0.01, 10, 400)

# 计算对数函数值
y_ln = np.log(x)         # 自然对数
y_log10 = np.log10(x)     # 常用对数
y_log2 = np.log2(x)       # 底数为2的对数

# 绘制图像
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y_ln, label=r"$y = \ln(x)$", color="blue")
plt.plot(x, y_log10, label=r"$y = \log_{10}(x)$", color="green")
plt.plot(x, y_log2, label=r"$y = \log_{2}(x)$", color="red")

# 添加图例和标签
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("对数函数的图像")
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(1, color='black',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()