二进制基础知识：运算与进制转换详解
二进制基础知识：运算与进制转换详解
二进制是计算机科学的基础，理解二进制及其运算对于学习编程和计算机原理至关重要。本文将详细介绍二进制的运算规则，以及二进制与其他常见进制（八进制、十进制、十六进制）之间的转换方法。通过具体的例子和图示，帮助读者全面掌握这些基础知识。
一、二进制的运算
二进制的运算主要包括与运算、或运算、异或运算和非运算。此外，二进制还有加减乘除运算。
- 与运算：只有参与运算的bit位都为1，运算结果才是1，例：1&1=1。
- 或运算：只要参与运算的其中一个bit位为1，运算结果就是1，例：1｜0=1、0｜1=1、1｜1=1。
- 异或运算：两个参与运算的bit位不相同，结果就是1，否则就是0，例：1^0=1、0^1=1。
二进制加减法和十进制加减法的思想是类似的：
- 对于十进制，进行加法运算时逢十进一，进行减法运算时借一当十；
- 对于二进制，进行加法运算时逢二进一，进行减法运算时借一当二。
具体例子如下：
- 二进制加法：1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110
- 二进制减法：1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101
二、二进制的转换
计算机内部使用0和1表示数据，但0和1组成的表达式可读性较差，因此引入了八进制、十进制和十六进制。下面详细介绍各种进制之间的转换方法。
1. 将二进制、八进制、十六进制转换为十进制
二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。
假设当前数字是 N 进制，那么：
- 对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于 (N^{i-1})。
- 对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第 j 位的位权为 (N^{-j})。
整数部分转换举例：
例如，将八进制数字 53627 转换成十进制：
从右往左看，第1位的位权为 (8^0=1)，第2位的位权为 (8^1=8)，第3位的位权为 (8^2=64)，第4位的位权为 (8^3=512)，第5位的位权为 (8^4=4096) …… 第n位的位权就为 (8^{n-1})。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
小数部分转换举例：
例如，将八进制数字 423.5176 转换成十进制：
小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 (8^{-1}=\frac{1}{8})，第2位的位权为 (8^{-2}=\frac{1}{64})，第3位的位权为 (8^{-3}=\frac{1}{512})，第4位的位权为 (8^{-4}=\frac{1}{4096}) …… 第m位的位权就为 (8^{-m})。
2. 将十进制转换为二进制、八进制、十六进制
将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面我们分别讲解。
整数部分转换：
十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余，逆序排列”法。具体做法是：
- 将 N 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；
- 保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；
- 仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；
- 如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。
- 把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字，后得到的余数作为 N 进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了 N 进制数字。
小数部分转换：
十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整，顺序排列”法。具体做法是：
- 用 N 乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；
- 将积的整数部分取出，再用 N 乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；
- 再将积的整数部分取出，继续用 N 乘以余下的小数部分；
- 如此反复进行，每次都取出整数部分，用 N 接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为 0，或者达到所要求的精度为止。
- 把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这样就得到了 N 进制小数。
3. 二进制和八进制、十六进制的转换
其实，任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法，只不过有时比较麻烦，所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法，反之亦然。
二进制整数和八进制整数之间的转换：
二进制整数转换为八进制整数时，每三位二进制数字转换为一位八进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制：
从图中可以看出，二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。
八进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位八进制数字转换为三位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制：
从图中可以看出，八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。
二进制整数和十六进制整数之间的转换：
二进制整数转换为十六进制整数时，每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制：
从图中可以看出，二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。
十六进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制：
从图中可以看出，十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。
在C语言编程中，二进制、八进制、十六进制之间几乎不会涉及小数的转换，所以这里我们只讲整数的转换，大家学以致用足以。另外，八进制和十六进制之间也极少直接转换，这里我们也不再讲解了。
