直线与平面垂直

直线与平面垂直

直线与平面垂直

一、教学目标

1. 借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2. 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
3. 在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.

二、教学重点、难点

重点：直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究；

难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．

三、教学过程

1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象

• 问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
• 问题2：在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是哪种？试举例说明．

（师生互动，给出实例与图片）

2. 提炼直线与平面垂直的定义

• 问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？

教师：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直可以转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，由这样的思路启发我们：能否将线面垂直问题转化为线线垂直问题呢？请学生结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．

• 问题4：
  1. 阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子所成的角度是多少？
  2. 随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆AB与影子所成的角度是否会发生改变?
  3. 旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线位置关系如何?为什么？

引导学生发现：旗杆AB所在的直线与地面上任意一条过点B的直线垂直。旗杆AB所在的直线也与地面上任意一条不过点B的直线垂直。

教师：综上可知：直线AB垂直于平面内的任意一条直线。现在，你能给出直线与平面垂直的定义吗？

请学生用自己理解的语言概括定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作⊥

教师：这样我们就从线与线的垂直来定义线面垂直。即把空间问题转化为了平面问题。你对定义中的“任意”两个字是如何理解的？

思考：

1. 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
2. 若a⊥α,bα则a⊥b。

教师：通常定义可以作为判定依据，但利用定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验。那么，是否有更简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直呢？

3. 探究直线与平面垂直的判定定理

创设情境

猜想定理：

操作1：将书本竖立在桌面上，观察书脊AB与桌面是否垂直？能否去掉若干页，仍然保持AB与桌面垂直？但至少保留几页？

学生发表自己的见解，……

操作2：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们先一起来做一个试验：在BC上任意找一点D，连接AD，沿AD翻折纸片，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

• 问题5：
  1. 折痕AD与桌面所在的平面垂直吗？
  2. 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？为什么？

根据试验，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？

学生叙写判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则称该直线与此平面垂直。

给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化

问题6：和直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?

4. 直线与平面垂直判定定理的应用

如图，已知，求证：

练习：如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O使对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD求证：PO⊥平面ABCD

5. 小结

6. 直线与平面垂直的概念

7. 直线与平面垂直的判定定理及实质

8. 数学思想方法：转化思想

9. 作业布置

在三棱锥V-