微积分-函数与极限3（函数极限）

微积分-函数与极限3（函数极限）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_45911156/article/details/139570760

函数极限的直观定义

1. 当x靠近但不等于a时，函数f(x)的极限等于L，表示为：
   $$
   \lim_{x\rightarrow a}f(x) = L
   $$
   注意：即使函数f(x)在x=a处没有定义，依然可以有极限，如图所示。
   

2. 举例

猜测
$$
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1}
$$
首先获取靠近x=1的f(x)的值，如下表所示：

可以看出，当x趋于1时，f(x)趋于0.5，因此我们可以猜测：
$$
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1} = 0.5
$$

注意：下面函数在x→1的极限值也是0.5
$$
g(x)=\left{
\begin{aligned}
& \frac{x-1}{x^2-1} & (x \neq 2) \
& 2 & (x = 2)
\end{aligned}
\right.
$$

单侧极限的定义

1. 从左边逼近时，称为左极限，写作
   $$
   \lim_{x \rightarrow a^-}f(x) = L
   $$

2. 从右边逼近时，称为右极限，写作
   $$
   \lim_{x \rightarrow a^+}f(x) = L
   $$

3. 根据极限的定义，我们可以得到如下结论
   $$
   \lim_{x \rightarrow a}f(x) = L
   $$
   当且仅当
   $$
   \lim_{x \rightarrow a^-}f(x) = L
   $$
   和
   $$
   \lim_{x \rightarrow a^+}f(x) = L
   $$
   时成立。

4. 举例

已知函数g(x)的图像，求
$$
\lim_{x \rightarrow 2^-}g(x)
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 2^+}g(x)
$$
并且判断
$$
\lim_{x \rightarrow 2}g(x)
$$
是否存在，如果不存在，请说明理由。

无穷极限的直观定义

1. 当x趋于a时，函数f(x)趋于∞，写作
   $$
   \lim_{x \rightarrow a}f(x) = \infty
   $$
   

2. 同理，当x趋于a时，如果函数f(x)趋于-∞，那么有
   $$
   \lim_{x \rightarrow a}f(x) = -\infty
   $$
   

注意：在a处有无穷极限，说明在这一点没有极限。

3. 渐近线定义：当至少满足下面的某个条件时，垂线x=a称为函数f(x)的渐近线
   $$
   \lim_{x \rightarrow a}f(x) = \infty
   $$
   $$
   \lim_{x \rightarrow a^-}f(x) = \infty
   $$
   $$
   \lim_{x \rightarrow a^+}f(x) = \infty
   $$
   $$
   \lim_{x \rightarrow a}f(x) = -\infty
   $$
   $$
   \lim_{x \rightarrow a^-}f(x) = -\infty
   $$
   $$
   \lim_{x \rightarrow a^+}f(x) = -\infty
   $$