塑性力学中的应力分析基本概念
塑性力学中的应力分析基本概念
应力
应力是内力的分布集度，可以分为全应力、正应力和剪应力。
全应力：$p = \lim_{\Delta A\to 0}\frac{\Delta P}{\Delta A}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}A}$
正应力：垂直于截面的应力，$\sigma=\lim_{\Delta A\to 0}\frac{\Delta N}{\Delta A}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{N}}{\mathrm{d}A}$
剪应力：位于截面上的应力，$\varepsilon=\lim_{\Delta A\to 0}\frac{\Delta T}{\Delta A}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{T}}{\mathrm{d}A}$
单元体
单元体是构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小几何体，常用正六面体表示。正应力 $\sigma_i $表示作用在垂直 $i $轴的面上，方向沿 $i $轴的应力；剪应力 $\tau_{ij} $表示作用在垂直 $i $轴的面上，方向沿 $j $轴的应力。
剪应力互等定理：
$$
\tau_{xy}=\tau_{yx}\quad \tau_{yz}=\tau_{zy}\quad \tau_{xz}=\tau_{zx}
$$
应力张量
应力张量是描述物体内部应力状态的物理量，它是一个二阶张量。二阶表示它有两个指标，而张量表示它在坐标系变换下的变换规律。应力张量的元素可以表示为$\sigma_{ij}$，其中$i$和$j$分别表示坐标轴的索引。这些元素表示了在某个点上，物体内部在不同方向上的应力大小和方向。例如，$\sigma_{xx}$表示物体在$x$轴上的正向应力分量，$\sigma_{xy}$表示物体在$x$轴和$y$轴之间的剪切应力分量。
应力张量为二阶对称张量：$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$，任一点的应力状态完全由应力张量确定：
$$
\sigma_{ij}=\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix}
$$
应力张量的对称性是由物体力学平衡和牛顿第三定律所决定的。根据力学平衡的要求，物体内部的力矩必须为零，而对称性是力矩为零的一个必要条件。另外，根据牛顿第三定律，作用于物体上的力和反作用力必须相等且方向相反。这意味着应力张量在不同坐标轴上的应力分量必须满足对称性。
在外力作用下，物体的变形可分为体积变形和形状变形，由静水压力试验结果可知，静水压力只引起体积变化，而不改变形状改变，故可将应力张量进行分解：
$$
\sigma_m=\frac{\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z}{3}=\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3}
$$
$$
\sigma_{ij}=\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\sigma_m & 0 & 0 \
0 & \sigma_m & 0 \
0 & 0 & \sigma_m
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\sigma_x-\sigma_m & \tau_{xy} & \tau_{xz} \
\tau_{yx} & \sigma_y-\sigma_m & \tau_{yz} \
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z-\sigma_m
\end{bmatrix}=\sigma_m\delta_{ij}+S_{ij}
$$
$$
\delta_{ij}=\begin{cases}
1 & i=j\
0 & i\ne j
\end{cases}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 1\
\end{bmatrix}\to \sigma_m\delta_{ij}=\begin{bmatrix}
\sigma_m & 0 & 0 \
0 & \sigma_m & 0 \
0 & 0 & \sigma_m
\end{bmatrix}
$$
应力球张量（静水压力）
- 任意截面上的均值应力等于 $\sigma_m $;
- 应力球张量与坐标的选择无关；
- 应力球张量与材料体积变形有关；
应力偏张量$S_{ij} $
- 应力偏张量材料形变有关，即与塑性变形有关；
- 应力偏张量为对称张量。
应用示例
已知某点的应力状态，将该应力状态写成张量形式并分解：
$$
\sigma_{ij}=\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1000 & 150 & 0 \
150 & 500 & 70 \
0 & 70 & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
\sigma_m=\frac{\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z}{3}=500
$$
$$
\sigma_{ij}=\begin{bmatrix}
\sigma_m & 0 & 0 \
0 & \sigma_m & 0 \
0 & 0 & \sigma_m
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\sigma_x-\sigma_m & \tau_{xy} & \tau_{xz} \
\tau_{yx} & \sigma_y-\sigma_m & \tau_{yz} \
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z-\sigma_m
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
500 & 0 & 0 \
0 & 500 & 0 \
0 & 0 & 500
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
500 & 150 & 0 \
150 & 0 & 70 \
0 & 70 & -500
\end{bmatrix}
$$