球体与棱柱的切接问题

球体与棱柱的切接问题

前言

球体与正三棱柱

• 正三棱柱不一定有内切球和棱切球，但一定有外接球。正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，
  关键关系：正三棱柱的高为(h)，正三棱柱的底面外接圆的半径(r)与球的半径(R)之间的关系为((\cfrac{h}{2})^2+r^2=R^2).

球体与直棱柱

• 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点。如下图直三棱柱的外接球的球心(O)应该是上下底面三角形外心(O')与(O'')连线的中点 .
  关键关系：直三棱柱的高为(h)，直三棱柱的底面外接圆的半径(r)与球的半径(R)之间的关系为((\cfrac{h}{2})^2+r^2=R^2).

典型例题

【2024级高一数学训练题】已知体积为(\cfrac{4\pi}{3})的球(O_1)与正三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的所有面都相切，则三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)外接球的表面积为【(\qquad)】
$A.24\pi$ $B.20\pi$ $C.16\pi$ $D.12\pi$

解：由题可知，正三棱柱的内切球的半径为(1)，如图可知，正三棱柱的高等于球的直径，故正三棱柱的高为(h=2)，点(O)既是正三棱柱的内切球的球心，也是正三棱柱的外接球的球心，点(M)是正三棱柱的下底面的外接圆的圆心，故(r)(=)(BM)(=)(2)，
则由((\cfrac{h}{2})^2+r^2=R^2)可知，正三棱柱的外接球的半径(R=\sqrt{5})，故外接球的表面积为(4\pi R^2=20\pi)，故选(B).

【2025届高三数学月考二用题】已知三棱锥(A-BCD)的所有顶点都在球(O)的球面上，(AD\perp)平面(ABC)，(\angle BAC=\cfrac{\pi}{2})，(AD=2)，若球(O)的表面积为(22\pi)，则三棱锥(A-BCD)(以(A)为顶点）的侧面积的最大值为【(\qquad)】
$A.6$ $B.\cfrac{21}{2}$ $C.\cfrac{25}{2}$ $D.\cfrac{27}{2}$

解析：由于(AD)、(AB)、(AC)两两垂直，故考虑将其补体为直三棱柱(DEF-ABC)，(O_1)、(O_2)分别是上下底面三角形的外接圆的圆心，则(O_1O_2)的中点(O)为此直三棱柱[也是原三棱锥]的外接球的球心，

由球(O)的表面积为(22\pi)，则(4\pi R^2=22\pi)，解得(R^2=\cfrac{11}{2})，由于(AD=2=O_1O_2)，故(OO_2=1)，令(BO_2=x)，则(1^2+x^2=R^2)，故(x^2=\cfrac{9}{2})，则(BC=2x=3\sqrt{2})，
再令(AB=m)，(AC=n)，则三棱锥(A-BCD)(以(A)为顶点）的侧面积(S_{侧})(=)(\cfrac{1}{2}mn)(+)(m)(+)(n)，且有(m,n>0)，(m+n)(>)(3\sqrt{2})(两边之和大于第三边)，(m^2)(+)(n^2)(=)(18)(勾股定理)，接下来求解(S_{侧})(=)(f(m,n))(=)(\cfrac{1}{2}mn)(+)(m)(+)(n)的最大值，(f(m,n)_{\max})(=)(\cfrac{21}{2})，故选(B).详细求解过程