声波导管理论及仿真分析
声波导管理论及仿真分析
声波导管是声学工程中的一个重要研究对象，它能够约束声波的传播方向和方式，从而实现对声波的控制和利用。本文将从理论和仿真两个方面探讨声波在矩形导管中的传播特性，重点分析不同频率声源激发下导管中高次波的传播规律。
前言
一般声源在无界空间中辐射的常常是波阵面逐步发散的球面波，现在将声的辐射约束在管子中，以此探讨自然管子的形状、尺寸以及管壁材料还有声源的状态对管中声波传播的影响。
在此展现部分仿真结果，后文将对其进行理论分析。
图1 导管的三维声压图和截面高次波
一、矩形声波导管理论分析
设有如图2所示的一矩形管，其宽度为$l_y$，高度为$l_x$，管长用$z$坐标表示。已知三维波动方程为：
$$
\frac{\partial^2p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2p}{\partial y^2}+\frac{\partial^2p}{\partial z^2}=\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2} \tag{1}
$$
图2 矩阵导管
现令解为：
$$
p = p_a(x, y, z)e^{j\omega t} \tag{2}
$$
代入方程(1)可得：
$$
\frac{\partial^2p_a}{\partial x^2}+\frac{\partial^2p_a}{\partial y^2}+\frac{\partial^2p_a}{\partial z^2}+k^2p_a=0, \tag{3}
$$
式中，$k = \frac{\omega}{c_0}$，对方程(3)作分离变量，设：
$$
p_a(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z) \tag{4}
$$
于是可以得到三个独立坐标的常微分方程：
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial^2X(x)}{\partial x^2}+k_x^2X(x)=0, \
\frac{\partial^2Y(y)}{\partial y^2}+k_y^2Y(y)=0, \
\frac{\partial^2Z(z)}{\partial z^2}+k_z^2Z(z)=0,
\end{gathered} \tag{5}
$$
其中$k_x$，$k_y$，$k_z$为三个待定常数，它们之间满足以下关系：
$$
k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2 \tag{6}
$$
考虑到管子的$x$，$y$方向有界，将存在驻波，因为方程(5)中第一和第二方程的解为以下形式：
$$
\begin{aligned}
X(x)=&A_x\cos k_xx+B_x\sin k_xx&(7a)\
Y(y)=&A_y\cos k_yy+B_y\sin k_yy&(7b)
\end{aligned}
$$
第三方程考虑到$z$方向无限，没有反射波，因而取行波解为：
$$
Z(z)=A_z\mathrm{e}^{-j k_zz} \tag{7c}
$$
从(7a)与(7b)式可求得$x$，$y$方向上的质点速度为：
$$
\begin{aligned}
v_{x}=& \frac{-1}{j\rho_0\omega}\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{-1}{j\rho_0\omega}Y(y)Z(z)\biggl[\frac{\partial X(x)}{\partial x}\biggr]\mathrm{e}^{j\omega t} \
\text{=}& \frac{j k_x}{\rho_0\omega}Y(y)Z(z)(-A_x\sin k_xx+B_x\cos k_xx)\mathrm{e}^{j\omega t} \
v_{y}=& \frac{j k_y}{\rho_0\omega}X(x)Z(z)(-A_y\sin k_yy+B_y\cos k_yy)\mathrm{e}^{j\omega t} \
\end{aligned} \tag{8}
$$
根据刚性管壁边界条件：
$$
(v_{x}){(x=0,l{x})}=0\
(v_{y}){(y=0,l{y})}=0
$$
可得：
$$
B_x = 0, k_x l_x = n_x \pi \quad(n_x=0,1,2,\cdots)\
B_y = 0, k_y l_y = n_y \pi \quad(n_y=0,1,2,\cdots) \tag{9}
$$
于是方程(2)可以转变为：
$$
p_{n_xn_y}=A_{n_xn_y}\cos k_xx\cos k_yye^{j(\omega t-k_zz)} \tag{10}
$$
这里$p_{n_xn_y}$为每一组$(n_x, n_y)$数值对应的一个特解，它表示了在声波导管中可能存在的沿$z$方向传播的一种声波。这种声波的圆频率为$\omega$，传播速度为$c_z=\frac{\omega}{k_z}$，振幅由$A_{n_xn_y}\cos k_xx\cos k_yy$决定。将方程(6)和方程(9)联立，可以得到：
$$
k_z=\left[k^2-(k_x^2+k_y^2)\right]^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{\omega^2}{c_0^2}-\beta_{n_xn_y}^2\right)^{\frac{1}{2}} \tag{11}
$$
而：
$$
\beta_{n_xn_y}^2=\left[\left(\frac{n_x}{l_x}\right)^2+\left(\frac{n_y}{l_y}\right)^2\right]\pi^2 \tag{12}
$$
我们可知仅当$k_z$为实数时，在$z$方向才表现有波的传播。而从方程(11)可以看到，这一$k_z$并不在任何条件下都为实数，因此欲在$z$方向传播声波就必须满足如下条件：
$$
\frac{\omega^2}{c_0^2}>\beta_{n_{x}n_{y}}^{2}=\left[\left(\frac{n_{x}}{l_{x}}\right)^2+\left(\frac{n_{y}}{l_{y}}\right)^2\right]\pi^2 \tag{13}
$$
综上，当$\frac{\omega^2}{c_0^2}<\beta_{n_{x}n_{y}}^2$，那么方程(11)应化为$k_z=-j\alpha_{n_{x}n_{y}}$，其中$\alpha_{n_xn_y}=\sqrt{\beta_{n_xn_y}^2-\frac{\omega^2}{c_0^2}}$为正的实数，于是方程(10)就变为：
$$
p_{n_{x}n_{y}}=A_{n_{x}n_{y}}\cos \frac{n_{x}\pi}{l_{x}}x\cos \frac{n_{y}\pi}{l_{y}}y \mathrm{e}^{-a_{n_{x}n_{y}}z} \mathrm{e}^{j\omega t} \tag{14}
$$
此式表明，沿$z$轴传播的声波在做衰减得到整体振动。
由此，我们把管中产生沿$z$方向传播声波的条件归结为：
$$
f > f_{n_xn_y} \tag{15}
$$
这里
$$
f_{n_xn_y}=\frac{c_0}{2}\sqrt{\left(\frac{n_x}{l_x}\right)^2+\left(\frac{n_y}{l_y}\right)^2} \tag{16}
$$
称为声波导管的简正频率。
分析公式(10)可知，对于不同的一组$(n_x, n_y)$数值将得到不同的波。我们称对应于$(n_x, n_y)$的波为$(n_x, n_y)$次的简正波。并称$(0，0)$次波为主波，除$(0，0)$次以外的波称高次波。从上面分析可知，只有当声源的激发频率$f$比管中某个简正频率$f_{n_xn_y}$高时，才能在管中激发出对应的$(n_x, n_y)$次波。若声源的频率低于管中除零以外的最低一个简正频率，那么管中所有的高次波都不能出现。因为$(0，0)$次简正频率为0，所以只要有声波存在，任何频率都总是大于零，因此这是管中只可能传播唯一的$(0，0)$次波。为之我们称除零以外的一个最低简正频率为声波导管的截止频率。
二、COMSOL仿真分析
2.1、几何模型构建
建模模型如图3所示，结合前文的理论分析我们可以得到对应的边长值$l_x=0.08m$，$l_y=0.14m$。左侧平面的九个点为点源，它们将发射方向为$(1，1，1)$，声强为$1W$的声波。最右侧为完美匹配层，用于模拟无限延长的$z$，主要作用是吸收入射波，避免反射波。
图3 矩阵导管建模
2.2、压力声学频域求解
将声源的频率分别设为$1kHz$，$2kHz$，$3kHz$，得到的声压结果如下。
图4 1kHz声压场
图5 2kHz声压场
图6 3kHz声压场
从图4-6中可以看出，不同频率的声源在导管中传播的声压场不同，这是由于在低频时无法通过高次波，只能通过主波。随着频率的升高，通过的高次波不断增加，导致了声压场在管中呈现出不同的结果。
2.3、高次波分析
通过式(16)
$$
f_{n_xn_y}=\frac{c_0}{2}\sqrt{\left(\frac{n_x}{l_x}\right)^2+\left(\frac{n_y}{l_y}\right)^2} \tag{16}
$$
我们可以得到不同波次的$(n_x, n_y)$的数值如下：
$$
\begin{cases}
n_x=0, n_y=0; f=0\
n_x=1,n_y=0; f=2143.75\
n_x=0,n_y=1; f=1225\
n_x=1,n_y=1; f=2469.06\
n_x=2,n_y=0; f=4287.5\
n_x=0,n_y=2; f=2450\
\end{cases}
$$
从中可以得到，频率为$1kHz$时只能通过主波，频率为$2kHz$时能通过主波和$(0，1)$的高次波，频率为$3kHz$时能通过主波和4种高次波。
在COMSOL中，我们截取横截面，通过分析横截面的波形态，来确定是否有高次波通过。
当声源频率为$1kHz$时，通过如图7所示的波形。
图7 1kHz横截面声压
图7的声压场在$x$和$y$轴上无任何方向波动，说明该通过的波是主波。
当声源频率为$2kHz$时，通过如图8所示的波形。
图8 2kHz横截面声压
从图8中可以看出，横截面通过两种波形，分别为主波和$(0，1)$的高次波。
当声源频率为$3kHz$时，除主波外，还能通过如图9-10所示的四种高次波。
图9 3kHz横截面声压
图10 3kHz横截面声压
从左上角到右下角依次为$(1，1)$，$(0，2)$，$(1，0)$，$(0，1)$的高次波。同理论计算结果一致。
总结
当声源的频率大于特定波次的简正频率时，该简正频率产生的波会沿轴向不衰减传播，并呈现出周期性变化。相反，若声源的频率小于特定波次的简正频率时，该简正频率产生波的声压将会呈现指数衰减的特点。当声源的频率大于多个简正频率时，多种波形将在传播的过程中叠加，呈现出不同的声压结果。