桥墩坐标计算方法详解

桥墩坐标计算方法详解

桥梁施工测量中，桥墩台的坐标计算是确保施工精度的关键环节。本文将详细介绍公路桥和铁路桥墩台在直线、缓和曲线和圆曲线上的坐标计算方法，并通过具体实例进行说明。

公路桥墩台坐标计算

随着社会的发展，测量仪器也在不断地更新换代，全站仪坐标法越来越普遍地应用于桥梁施工测量领域。全站仪坐标法放样桥墩台中心坐标计算如下：

1. 桥墩台位于直线上

直线段起点桩号$l_Q$，坐标$(X_Q，Y_Q)$，直线段坐标方位角$\alpha$，直线段上一点$l_i$的坐标$(X_i，Y_i)$的计算公式为：

$$
X_i = X_Q + (l_i - l_Q) \cos \alpha \
Y_i = Y_Q + (l_i - l_Q) \sin \alpha
$$

也可采用下列公式计算：

$$
X_i = X_Q + \Delta l \cos \alpha \
Y_i = Y_Q + \Delta l \sin \alpha
$$

其中，$\Delta l = l_i - l_Q$。

2. 桥墩台位于缓和曲线上

如图6.2.2所示，在以缓和曲线起点桩号$l_Q$，坐标$(X_Q，Y_Q)$为坐标原点，起点切线（切线坐标方位$\alpha$）为$x'$轴，垂线为$y'$轴的直角坐标系$x'O'y'$中，曲线上一点$i$（桩号为$l_i$）的切线正支距坐标$(X'_i，Y'_i)$可由下式求得：

图6.2.2 缓和曲线墩台坐标计算

$$
X'_i = \frac{l_i^2}{2R} \
Y'_i = \frac{l_i^3}{6RL}
$$

式中 $R$——圆曲线半径；$l$——缓和曲线长度。

再通过坐标平移和旋转计算出该点在大地坐标系$xOy$中的坐标$(X_i，Y_i)$为：

$$
X_i = X_Q + X'_i \cos \alpha - Y'_i \sin \alpha \
Y_i = Y_Q + X'_i \sin \alpha + Y'_i \cos \alpha
$$

当起点为$ZH$点时，$(X_Q，Y_Q)$为$ZH$点坐标，$l_Q$为$ZH$点里程。左偏时，将$Y'_i = -Y'_i$代入。

当起点为$HZ$点时，$(X_Q，Y_Q)$为$HZ$点坐标，$l_Q$为$HZ$点里程。右偏时，将$Y'_i = -Y'_i$代入。

3. 桥墩台位于圆曲线上

如图6.2.3所示，当桥墩台位于圆曲线上时，圆曲线半径为$R$，起点里程为$l_Q$，起点坐标为$(X_Q，Y_Q)$，起点的切线方位角为$\alpha$，曲线上一点$i$（桩号$l_i$）的坐标可用下式直接求得：

图6.2.3 圆曲线墩台坐标计算

$$
X_i = X_Q + R \sin \left( \frac{l_i - l_Q}{R} \right) \
Y_i = Y_Q - R \left( 1 - \cos \left( \frac{l_i - l_Q}{R} \right) \right)
$$

式中，$i$的“$\pm$”号左偏时取“$-$”，右偏时取“$+$”。

举例说明

【例6.2.1】 江滩特大桥平面位于半径2 000 m，缓和曲线为250 m的右偏曲线上，线路交点里程为K7＋025.271，坐标为（70 183.437，7 298.688），偏角为42°46′15.6″，起始边方位角$\alpha$ ＝188°38′3.6″，切线长$T$＝908.701 m，求直线上（K5＋820）、缓和曲线（K6＋140），圆曲线上（K6＋435）各点的中线坐标。

【解】（1）计算各主点里程及坐标。

直缓点里程（$ZH$）：K7＋025.271－908.701＝K6＋116.57

缓圆点里程（$HY$）：K6＋116.57＋250＝K6＋366.57

圆缓点里程（$YH$）：K7＋025.271＋908.701－250＝K7＋683.972

缓直点里程（$HZ$）：K7＋025.271＋908.701＝K7＋859.56

$$
X_{ZH} = 70 183.437 + 908.701 \times \cos(188°38′3.6″ + 180°) = 71 081.839 \text{（m）} \
Y_{ZH} = 7 298.688 + 908.701 \times \sin(188°38′3.6″ + 180°) = 7 435.109 \text{（m）} \
X_{HZ} = 70 183.437 + 908.701 \times \cos(188°38′3.6″ + 42°46′15.6″) = 69 616.583 \text{（m）} \
Y_{HZ} = 7 298.688 + 908.701 \times \sin(188°38′3.6″ + 42°46′15.6″) = 6 588.467 \text{（m）}
$$

（2）计算待求点的坐标。

里程K5＋820处坐标：

$$
X = X_{ZH} + (l_{ZH} - l_i) \times \cos(\alpha + 180) \
= 71 081.839 + (6 116.57 - 5 820) \times \cos(188°38′3.6″ + 180°) = 71 375.048 \text{（m）} \
Y = Y_{ZH} + (l_{ZH} - l_i) \times \sin(\alpha + 180) \
= 7 435.109 + (6 116.57 - 5 820) \times \sin(188°38′3.6″ + 180°) = 7 479.632 \text{（m）}
$$

里程K6＋140处坐标：

依据以上方法，可算出

$$
X_{HZ} = 70 835.551 \text{（m）} \
Y_{HZ} = 7 392.444 \text{（m）}
$$

里程K6＋435处坐标：

（计算过程略）

铁路桥墩台坐标计算

1. 直线桥坐标计算

如图6.2.4所示，铁路直线桥梁中心线与线路中心线吻合，即桥梁墩台中心均位于桥轴线方向上。在桥梁施工坐标系统中，各墩台中心的横坐标$x＝0$。控制点B的里程等于控制点A的里程加桥轴线长，已知各墩台中心设计里程，则各墩台中心的纵坐标等于墩台中心与控制点的里程之差。

图6.2.4 直线桥坐标计算

设控制点A的里程为$DK_A$，第$i$号墩的里程和纵横坐标分别为$DK_i$和$(x_i，y_i)$，则：

$$
x_i = 0 \
y_i = DK_i - DKA
$$

2. 曲线桥墩台坐标计算

（1）桥梁在曲线上的布置。

如图6.2.5所示，桥梁位于曲线上，线路中线呈曲线，而每孔梁中线是直线，两者不吻合。梁在曲线上布置是将各跨梁的中线连接起来，成为与线路中线基本符合的折线，这条折线称为桥梁工作线，也称为墩中心距，用$L$表示。桥墩的中心一般位于工作线转折角的顶点上。相邻梁跨工作线所构成的偏角$\alpha$ 称为桥梁偏角。

图6.2.5 曲线桥坐标计算

在桥梁设计中，梁中心线的两端并不位于线路的中心线上，因为如果位于线路的中线上，梁的中部线路必然偏向量的外侧，当列车通过时，梁的两侧受力不均。为了尽可能地使受力均匀，就必须将梁的中线向外侧移动一段距离$E$，这段距离称为桥梁偏距。由于桥梁偏角$\alpha$很小，故可以认为偏距$E$就是桥梁工作线各转折点相对线路中线外移的距离。

桥梁偏角$\alpha$、偏距$E$、墩中心距$L$在设计图中均已给出，这里不再讨论。

（2）墩台中心坐标计算。

铁路桥梁坐标系统一般采用切线坐标系统，因此可以$ZH$、$HZ$分别建立坐标系，计算墩台坐标，分别利用两个坐标系测设，无须统一在一个坐标系中。坐标系以$ZH$（$HZ$）为坐标原点，$ZH$（$HZ$）至$JD$方向为$x$轴正向，过原点垂直于切线方向为$y$轴。

① 墩台位于缓和曲线上。

如图6.2.6所示，$A$为工作线交点，$A'$为桥墩横向轴线与线路中线的交点。计算线路中线上$A'$点的坐标公式为：

图6.2.6 缓和曲线墩台坐标计算

$$
X_{A'} = \frac{l^2}{2R} \
Y_{A'} = \frac{l^3}{6RL}
$$

式中 $R$——圆曲线半径；$l_0$——缓和曲线全长；$l$——计算点至$ZH$（$HZ$）的曲线长。如图6.2.6所示，工作线交点$A$的坐标为：

图6.2.7 圆曲线上墩台坐标计算

上式中$\beta$ 为缓和曲线上任一点的切线角。$x_{A'}$、$\Delta x$始终为正，在第一象限$y_{A'}$为正，$\Delta y$为负；在第四象限$y_{A'}$为负，$\Delta y$为正。

② 墩台位于圆曲线。

如图6.2.7所示，工作线交点坐标计算公式为：

图6.2.7 圆曲线上墩台坐标计算

$$
X_C = X_{C'} + E \cos \theta \
Y_C = Y_{C'} + E \sin \theta
$$

式中 $C$——工作线交点；$C'$——交点所对应之线路中线点；$\theta$——$C'$至$HY$点弧长$S$所对的圆心角。

在第一象限$y_C$为正值，在第四象限$y_C$为负值。以上为铁路墩台中心坐标计算。