多变量微积分入门：偏导数、偏微分与全微分详解
多变量微积分入门：偏导数、偏微分与全微分详解
多变量微积分是理工科学生必修的基础课程，其中的偏导数、偏微分和全微分等概念是理解更高级数学和物理理论的关键。本文将通过回顾单变量微积分中的微分概念，逐步引出这些核心概念，并通过直观的图像和详细的步骤说明，帮助读者深入理解这些抽象的数学概念。
我们先来回顾一下微分。在单变量微积分中，我们已经知道，可以用一条直线来近似表示函数在某一点附近的曲线。如图所示，这条直线被称为该曲线在x0点的微分。
当自变量从一个变为两个时，要近似的对象就从曲线变成了曲面。此时如果曲面在（x0，y0）点附近的图像，可以用一个平面来近似，那么这个平面就称为曲面在（x0，y0）点的微分。为了和单变量微积分中的“微分”有所区别，又将它称为“全微分”。
那么怎么找到这个平面呢？
首先，我们知道，曲面实际上是由曲线构成的。那么我们要近似此点附近的曲面，其实就是要近似过此点的这些曲线。而曲线又可以用直线来近似。这样，我们要找的平面，就是由这些直线所构成的。两条相交的直线就能决定一个平面。
知道上述概念之后，为了找到这个平面，可以逐一按照以下三个步骤来操作：
- 首先找两条曲线。出于简化计算的目的，一般会选择经过此点，且平行于x轴的曲线。以及过此点，平行于y轴的曲线。这个操作叫做：曲面在此点对x的偏微分和曲面在此点对y的偏微分。
由于两条曲线的求解方法类似，我们这里就仅以平行于x轴的曲线为例来进行讲解。我们把图像换个方向展示。显然平行于x轴的这条曲线，可以看作平面y=y0与曲面的交线。且曲面在此点的偏微分，也在平面y=y0上。这条直线就是函数f（x，y0）在x0处的微分。所以要求出曲线在此点的导数。
由于y0是常数，因此变量只剩下了x。那么x0点的导数就可以用单变量的方法求出。在多变量中，这个导数就被称为函数在x0，y0点对x的偏导数。
偏导数的完整定义如下：
偏导确定后，我们要求的偏微分也就很好确定了。它就应该等于偏导数乘以自变量的增量dx。这样我们就求出了曲面在x0点对于x的偏微分。同理，也可以求出曲面在y0点对于y的偏微分。
接下来我们根据偏微分求出两条直线的方向向量，然后对它们进行叉积运算，运算的结果即为平面的法向量。现在有了平面上的一个点，又有了平面的法向量，那么我们就可以根据点法式得到结果。
最后平面表达式为：
函数对x的偏微分 + 函数对y的偏微分 = 全微分