MPC模型预测控制器——数学推导

MPC模型预测控制器——数学推导

模型预测控制器（MPC）是一种基于模型的优化控制方法，通过在线求解有限时间开环优化问题来实现对系统的控制。本文将从最优化控制的基本概念出发，逐步介绍MPC的原理和数学建模过程，重点讲解二次规划方法在最优化问题中的应用，并通过矩阵运算推导出最终的代价函数形式。

模型控制基本内容

最优化控制和基本概念

参考链接：

最优控制的研究动机：在约束条件下达到最优的系统表现

Get the best performance within certain limitation

注：

所谓“最优”就是设计“惩罚函数”，把“惩罚函数”映射到“解空间”

最优不是唯一解

误差

举例：

下图是一个典型的单输入单输出系统(SISO)：

假设该系统是一个轨迹跟踪控制系统，其中e为轨迹跟踪误差，u为控制输入，则

• 越小，说明轨迹追踪效果越好
• 越小，就表明该控制器的输入越小，能量消耗就越低

基于此，定义一个 Cost Function（目标/代价函数）：

，控制器看重误差

，控制器看重输入

根据现实中不同的控制系统要求调节。而最优控制的目标就是使得代价函数J最小。

拓展到MIMO（多输入多输出）系统中：

其代价函数就可以写为：

其中Q、R分别为调节矩阵。

例如：

其中为权重系数。

关注哪个变量就把哪个变量对应的权重参数调大，另一个权重参数调小

MPC：模型预测

MPC作用机理描述为：在每一个采用时刻，根据获得的当前测量信息，在线求解一个有限时间开环优化问题，并将得到的控制序列的第一个元素作用于被控对象。在下一个采样时刻，重复上述过程：用新的测量值作为此时预测系统未来动态的初始条件，刷新优化问题并重新求解 。

即MPC算法包括三个步骤：

1. 在k时刻估计/测量当前系统状态
2. 基于来进行最优化
   先找到曲线对应的控制区间和预测区间
   上式中第三项为最终代价
   对代价函数进行最优化，找到在预测区间内代价函数的最小值
3. 只施加的控制量
   该步骤被称为滚动优化控制（Receding Horizon Control）：
   预测的模型很难完美描述现实的系统，现实的系统可能会有扰动
   当时间从k到k+1时，对应的控制区间和预测区间也向右移动一个时刻，然后重复进行第二步

最优化数学建模推导

参考链接

介绍最常用的一种最优化方法——二次规划

一般形式：

前面的部分是线性规划——最小二乘法：

Q是对角矩阵

举例

x为状态向量，u为输入向量

在k时刻

N称为预测空间（Predictive Horizon）

假设系统输出

参考值

误差

代价函数

上式可以理解为：

J=误差加权和+输入加权和+终端误差

系统的初始条件：

上述矩阵化为：

将代价函数展开

设

将上式展开之后合并可得

上式为新的代价函数