李群与李代数基础：第2节 李群的一些基本性质

李群与李代数基础：第2节 李群的一些基本性质

引用

CSDN

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https://blog.csdn.net/universsky2015/article/details/139711463

李群和李代数是数学中一个非常重要的研究领域，它们在物理学、工程学、控制理论等诸多领域都有广泛的应用。本文将重点介绍李群的一些基本性质，为后续深入学习李群和李代数打下坚实的基础。

1. 背景介绍

李群（Lie group）和李代数（Lie algebra）是数学中一个非常重要的研究领域，它们在物理学、工程学、控制理论等诸多领域都有广泛的应用。李群是一种特殊的群，而李代数则是研究李群的一种代数工具。本文将重点介绍李群的一些基本性质，为后续深入学习李群和李代数打下坚实的基础。

2. 核心概念与联系

2.1 李群的定义

李群是一种具有平滑结构的群，即在李群上可以定义微分运算。更精确地说，一个李群是一个实数域上的实解析群（real analytic group），即一个实数域上的群，同时又是一个实解析流形（real analytic manifold）。

2.2 李代数的定义

每个李群都对应一个李代数，李代数是研究李群的一种代数工具。李代数是一个实线性空间，并在其上定义了一种二元运算，称为李括号（Lie bracket）。李代数可以看作是李群在单位元素处的切空间，因此它描述了李群在单位元素处的局部性质。

2.3 李群与李代数的联系

李群和它对应的李代数之间存在着密切的联系。李代数可以用来研究李群的局部性质，而李群则提供了李代数的一个具体实现。通过研究李代数，我们可以获得有关李群的重要信息，反之亦然。因此，李群和李代数是相辅相成的。

3. 核心算法原理具体操作步