三门问题反直觉？从信息角度解释选择背后的概率学原理
三门问题反直觉？从信息角度解释选择背后的概率学原理
三门问题，又称蒙提霍尔问题，是一个经典的概率论悖论。这个问题源自美国电视节目《Let's make a deal》，通过一个简单的游戏设置，揭示了条件概率的奥秘。本文将从信息论的角度，深入解析三门问题及其变体，帮助读者理解这个看似反直觉的概率现象。
三门问题的原版
三门问题改编自美国的一档电视节目《Let's make a deal》，主持人蒙提霍尔会和参赛者进行一个游戏。游戏是这样的，舞台上有三扇门，其中有一个门后面是一辆汽车，其余两个门后都是山羊，游戏目的就是要选到汽车。主持人是知道门后面有什么的，参赛选手是不知道的。游戏开始，参赛者首先会随机选取一个门，假设是门A，这时主持人会从另外两扇门中打开一扇后面是山羊的门，假设是门C，然后问参赛者，请问你要更换一扇选择的门吗，或者是你要选择门B吗？问题来了，参赛者到底要不要更换门呢？这就是三门问题，又因为主持人叫做蒙提霍尔，因此这个问题也叫做蒙提霍尔问题，蒙提霍尔悖论。
信息论视角的解释
蒙提霍尔悖论之所以叫做悖论，是因为它的答案是比较反直觉的。直觉告诉我们，主持人排除了一个错误答案后，剩下的两扇门中只有一个是汽车，因此每扇门后有汽车的概率应该是1/2。但这个答案是错误的。为什么呢？
首先，参赛者随机选择一扇门，假设是门A，能够选择到车的概率是1/3。此时，剩下的两扇门B和C中，有车的概率就是1-1/3=2/3。然后主持人排除了一个错误答案门C，所以门B后面是车的概率就变成了2/3了，因为就只剩下门B了。而门A后面是车的概率依旧是原来的1/3，因此答案是应该换门，因为抽到汽车的概率从1/3变成了2/3。
主持人是否知情的影响
原版三门问题中一个很重要的细节是，主持人是站在一个上帝视角来打开门的，也就是说主持人是知道门后面都有什么的。这个很关键。只有主持人知道汽车的分布，然后他再排除掉一个错误答案，这个信息才会对汽车的概率分布有影响。
如果主持人不知道门后面有什么。当参赛者选完门后，主持人会在剩下的两个门中随机选择一个门，因为主持人不知道门后的情况，所以有可能会打开车，有可能会打开山羊，如果主持人恰好打开了一扇后面是山羊的门，其他什么都不变，还是问参赛者是否要换门，这个时候换与不换赢得汽车的概率是多少呢？这回答案就是1/2和1/2了。也就是除了主持人打开的门，剩下两个门中有汽车的概率是均等的，都是1/2。
N门问题的变体
理解了这个问题，那么对于N门的变体问题也就很好理解了。比如说假设有100个门，其中只有一个是汽车，参赛者选择其中一个门，主持人是知道门后都有什么的，然后帮忙排除了98个不是汽车的门，那现在场上只有两个门了，这个时候问选手，是否要换门呢？肯定要交换啊，因为换门赢得汽车的概率是99/100。
同样，如果主持人不知道门后有什么，只是随机打开了98扇门，恰好门后面都是羊，当然这个概率很低。不过没关系，我们就考虑这种情况发生了的情况下。此时再问参赛选手是否要换门，换与不换就都是一样的，概率都是1/2。
三个囚徒问题
再看另外一个三门问题的变体，叫做三个囚徒问题。说有三个死刑犯ABC，典狱长决定赦免一个人，名单已经确定好了，然后把消息告诉了看守，看守是知道谁即将被赦免的。在即将被处刑的前一天晚上，小A就坐不住了，他跑过去问看守，请问我是被赦免的那个人吗？看守说，我不能告诉你，我不能向你透露任何关于你的信息。不过我可以告诉你，在B和C之中，B是要被执行死刑的人。说完看守就走了。小A高兴了，心想，原本我被赦免的概率是1/3，现在排除了B，只剩下我和C了，所以我被赦免的概率从1/3变成了1/2。于是小A找到了小C，告诉了他事情的原委，说现在咱俩被赦免的概率都是1/2了，小C听完了之后，说不对，你被赦免的概率还是1/3，而我被赦免的概率则变成了2/3。谁说的对呢？如果你明白了三门问题，答案很显然，小C说的是正确的。只是因为小A问了一下看守，却提高了小C生存的几率，这是不好理解的地方。其实看守说的话已经透露了玄机，看守说我不能透露关于你的信息，只能告诉你在B和C之中B是即将被处死的人，整体考虑BC，其中有一个人被赦免的概率是2/3，又因为看守排除了一个B，所以C被赦免的概率就变成了刚才整体的2/3了。
那我们再变动一下，如果看守当着A和C的面说，B是即将被处死的人，这回A和C被赦免的概率分别是多少呢？这回就是各50% 了。因为看守说的话并不包含A和C的任何内容，就像我们刚才举得彩票的例子是一样的。