秒懂微积分：常用函数求导公式速记与应用

秒懂微积分：常用函数求导公式速记与应用

导数，作为微积分的核心概念之一，在描述变化率方面有着举足轻重的作用。无论是探索函数的增减性、求解极值问题，还是分析函数的凹凸性，都离不开导数的应用。而掌握基本函数的求导公式，则是打开微积分世界大门的钥匙。

一、常用函数求导公式速览

为了便于学习和记忆，我们将常用函数的求导公式归纳如下：

1. 常数函数：若 f(x) = c (c 为常数)，则 f'(x) = 0。
2. 幂函数：若 f(x) = x^n (n 为实数)，则 f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：

• 若 f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x。
• 若 f(x) = a^x (a>0 且 a≠1)，则 f'(x) = a^x ln(a)。

4. 对数函数：

• 若 f(x) = ln(x) (x>0)，则 f'(x) = 1/x。
• 若 f(x) = log_a(x) (a>0 且 a≠1，x>0)，则 f'(x) = 1/(x ln(a))。

5. 三角函数：

• 若 f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
• 若 f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
• 若 f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。

6. 反三角函数：

• 若 f(x) = arcsin(x)，则 f'(x) = 1/√(1-x^2)。
• 若 f(x) = arccos(x)，则 f'(x) = -1/√(1-x^2)。
• 若 f(x) = arctan(x)，则 f'(x) = 1/(1+x^2)。

二、求导法则

除了掌握基本函数的求导公式外，还需要了解一些常用的求导法则，以便处理更复杂的函数求导问题。

1. 和差法则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)
2. 常数倍法则：[c f(x)]' = c f'(x) (c 为常数)
3. 积法则：[f(x) g(x)]' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
4. 商法则：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]^2
5. 链法则（复合函数求导法则）：[f(g(x))]' = f'(g(x)) g'(x)

三、导数的应用

导数的应用广泛，例如：

1. 求解函数的极值和最值：通过求解 f'(x) = 0 可以找到函数的驻点，进而判断函数的极大值、极小值以及在给定区间上的最大值和最小值。
2. 分析函数的单调性：f'(x) > 0 意味着函数在该区间内单调递增，f'(x) < 0 意味着函数在该区间内单调递减。
3. 确定函数的凹凸性：f''(x) > 0 意味着函数在该区间内为凹函数，f''(x) < 0 意味着函数在该区间内为凸函数。
4. 解决实际问题：例如，在物理学中，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数；在经济学中，边际成本是总成本对产量的导数。

四、从导数到偏导数：迈向多元函数的世界

当我们从单变量函数拓展到多变量函数时，导数的概念也随之发展为偏导数。偏导数反映的是多元函数沿着某个坐标轴方向的变化率。例如，对于二元函数 z = f(x, y) 而言，它在点 (x, y) 处关于 x 的偏导数 ∂z/∂x 表示函数值 z 沿着 x 轴方向的变化率。

偏导数在多元函数的极值问题、方向导数、梯度等概念中扮演着至关重要的角色。掌握偏导数，就相当于获得了探索多元函数世界的钥匙，能够更深入地理解和分析复杂系统的行为。