分段函数求导详解：从基本概念到具体应用

分段函数求导详解：从基本概念到具体应用

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/qq_56140091/article/details/144204071

分段函数求导是数学分析中的一个重要概念，特别是在处理定义域被分割成多个区间的函数时。本文将详细介绍分段函数在分段点处的可导性讨论方法，包括使用导数定义和导数极限定理，并通过具体例题帮助读者更好地理解这一概念。

思路分析

对于分段函数的求导问题，一般在分段点处用导数定义，在非分段点里直接用公式求导。

如何讨论分段函数分段点处的可导性？

在研究分段函数的导数时：

• 对于连续区间直接用求导法则求导
• 对于分段点通常需要用 1.导数定义求但如果函数满足一定条件下，也可用 2.导数极限定理来求函数在分界点处的单侧导数，从而讨论该函数在分界点处的可导性。

左导数极限定理

设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处左连续，在 $x=a$ 的左去心邻域内可导，且
$$
\lim {x \rightarrow a^{-}} f^{\prime}(x)=A
$$
则
$$
f{-}^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f^{\prime}(x)=A
$$

右导数极限定理

设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处右连续，在 $x=a$ 的右去心邻域内可导，且
$$
\lim {x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)=A
$$
则
$$
f{+}^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)=A
$$

双侧导数极限定理

设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，在 $x=a$ 的去心邻域内可导，且
$$
\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A
$$
则
$$
f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A
$$
如果函数满足此定理的条件，那么利用此定理的结论来讨论分界点处的可导性比用导数的定义更为简便。

例题26