算法详解：滚动数组思想及其应用
算法详解：滚动数组思想及其应用
滚动数组思想是一种优化空间复杂度的技巧，在动态规划问题中应用广泛。本文通过斐波那契数列和力扣63题"不同路径II"两个示例，详细讲解了滚动数组思想的核心概念和具体应用。
什么是滚动数组思想？
滚动数组思想是一种优化空间复杂度的技巧，在面对一些动态规划问题时，我们会定义一个二维数组来保存中间状态，以便计算最终的解。然而，有时候我们可以通过滚动数组的方式，减少空间复杂度，而不影响计算的正确性。
滚动数组实际上是一种“压缩”状态空间的方法。它的核心思想是，对于某些动态规划问题，当前状态只依赖于之前的若干个状态，而不需要所有之前的状态都保留。因此，我们可以只用几个变量（数组元素）来保存这些必要的中间状态，而不用整个二维数组。
简而言之就是不用记录下所有的中间状态，因为当前状态会有规律地继承于之前的状态。
简单示例
光说概念不好理解，我们先借助一个简单的程序来理解，比如求解斐波那契数列，假如我们使用普通的方法，代码如下：
public static int fibonacci(int n) {
if (n <= 1) {
return n;
}
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
我们使用了一个数组来记录下所有的中间状态，而如果使用滚动数组的思想只需要两个变量就可以实现相同的效果。
public static int fibonacci(int n) {
if (n <= 1) {
return n;
}
int prev1 = 0;
int prev2 = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int current = prev1 + prev2;
prev1 = prev2;
prev2 = current;
}
return prev2;
}
这样就是滚动数组思想的一个简单应用，它把原本要使用一个一位数组才能解决的问题简化，使用两个变量就可以解决。
如果问题要靠一个二维数组解决，通过这个方法就可以简化为一个一维数组来解决。
进阶示例
下面进一步来看更复杂的应用，例如力扣63题——不同路径II
不同路径II
题目要求如下：
一个机器人位于一个
m x n
网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用
1
和
0
来表示
示例 1：
**输入：**obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
**输出：**2
**解释：**3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有
2
条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
**输入：**obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
**输出：**1
这道题的含义很简单，就是求出机器人走到终点可以有多少种不同路径。这道题的解法不唯一，但是想要让时间复杂度足够低只能使用滚动数组的思想，我在第一次写时用的方法是深度优先搜索，不出所料，虽然可以成功求解，但是耗时过多，提交不成功。
在本题中想要到达一个方格只有从该方格上面或者左边达到。假设用一个函数f(x,y)来表示到到达方格（x，y）的路径数。那么f(x,y) = f(x-1,y)+f(x,y-1)。所以每个方格中代表的路径数都是从左边和上边继承的。对此我们可以使用一个一维数组f[n]来维护路径数。n为方格的列数，我们通过不断维护f[n]来记录路径数。
初始时最上方和最左边的方格的f[n]都为1，因为在边界处只有一条唯一的路径，对于其他可以达到的方格，当前的f[n]=f[n]+f[n-1]，f[n]为当前上方的方格，因为在不断更新，所以f[n-1]为左边刚刚更新的方格。这样不断循环直到最后，最后一个f[n]就是到达终点的路径数。
代码如下：
class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int n = obstacleGrid.length, m = obstacleGrid[0].length;
int[] f = new int[m];
f[0] = obstacleGrid[0][0] == 0 ? 1 : 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < m; ++j) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
f[j] = 0;
continue;
}
if (j - 1 >= 0) {
f[j] += f[j - 1];
}
}
}
return f[m - 1];
}
}