正弦函数sin的特性

正弦函数sin的特性

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/mftang/article/details/140565396

正弦函数是数学中一个基础且重要的周期性函数，广泛应用于物理学、工程学和信号处理等领域。本文将从直角三角形的基本概念出发，逐步深入探讨正弦函数的定义、特性及其幅频特性，并通过Python代码和图形化展示来帮助读者理解这些概念。

概述

正弦函数是一种周期性的函数，用符号sin(x)表示。在数学中，正弦函数是圆的弧长与半径的比值。它的图像是一个波动的曲线，周期为2π。当x等于0、π、2π等整数倍的π时，正弦函数的值为0；当x等于π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π时，正弦函数的值为1或-1；当x等于π/4、3π/4、5π/4等四个角度时，正弦函数的值为1/√2或-1/√2。

1 正弦函数的定义

在认识正弦函数之前，先了解一下直角三角形的一些特性。

1.1 直角三角形

直角三角形的定义：

定义：

直角三角形是一个三角形，其中包含一个直角（90度的角）。

特性：

1）直角三角形的另外两个角可以是锐角或钝角。

2）边长满足勾股定理，即直角边的平方等于其他两条边的平方和。

1.2 正弦函数

正弦函数是一种周期性函数，常用于描述波动、震动等周期性现象。在数学上，正弦函数用sin(x)来表示，其中x是自变量，表示角度或弧度。正弦函数的图像呈现出一种周期性的波动形态，具有持续的正值和负值交替的特点。正弦函数的一个周期是2π（或360度），即在一个周期内，正弦函数的值会在0到1之间不断变化，然后又回到0，再从0到-1变化，反复循环。

2 正弦函数特性

2.1 正弦函数的描述

正弦函数传递的θ表示角度，在平面几何中，一个圆周是360°，这表示θ的变化范围在（0,360°），sin𝜃 代表一个比例关系（对边/斜边），根据三角形的特性：

在一个圆周内,通过sin计算得到的值域（幅值为1）：[0,1]， 角度值为：[0, 2π]

函数关系：

幅值范围y: [-1, 1]， 角度区间：[0, 2π]

2.2 周期性

1）正弦函数一个周期使用角度表示为：[0360°]，使用弧度表示[02π]，其波形图如下：

使用Python工具生成三角函数

1） numpy库产生正弦函数序列

2） matplotlib库函数生产UI

import matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
matplotlib.use('TkAgg')
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']   # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False     # 显示负号
if __name__ == '__main__':
    x = np.linspace(0, np.pi*2, 360)
    plt.plot(x, np.sin(x), 'r')
    plt.show()  

2） 改变周期，观察其波形情况，幅值区间[-1,1]，使用弧度表示[0~4π]，产生两个标准的正弦波形。使用pyhton 实现代码：

import matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
matplotlib.use('TkAgg')
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']   # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False     # 显示负号
if __name__ == '__main__':
    x = np.linspace(0, np.pi*4, 360)
    plt.plot(x, np.sin(x), 'r')
    plt.show()  

3）将弧度区间设置为：[0, 8π]，幅值范围[-1,1]，此时会产生4个正弦波形，使用pyhton 实现代码：

import matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
matplotlib.use('TkAgg')
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']   # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False     # 显示负号
if __name__ == '__main__':
    x = np.linspace(0, np.pi*8, 360)
    plt.plot(x, np.sin(x), 'r')
    plt.show()  

2.3 相位特性

正弦函数的相位是指在周期内开始的位置，即在横轴上的水平偏移量。在标准正弦函数y = A*sin(Bx + C)中，相位C表示在x轴上的位移量。它会改变函数图像在横轴上的位置。相位C的单位是弧度或角度。

下面使用python实现连个sin函数，两个函数的相位相差为π/4:

函数描述如下：

函数1： y = sin(x) ，x的区间 [0,2π]

函数2： y = sin(x+π/4), x的区间为[0,2π]

使用pyhton 实现代码：

import matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
matplotlib.use('TkAgg')
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']   # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False     # 显示负号
if __name__ == '__main__':
    x = np.linspace(0, np.pi*2, 360)
    plt.plot(x, np.sin(x), 'r')
    x = np.linspace(np.pi/4, np.pi*2 + np.pi/4, 360)
    plt.plot(x, np.sin(x)+3, 'g')
    plt.show()  

生成的波形图如下：

3 正弦函数的幅频特性

正弦函数是一种周期性的函数，它的幅频特性描述了不同频率下正弦函数的振幅。

在频域中，正弦函数可以表示为幅度为A、频率为f、相位为θ的信号，即f(t) = Asin(2πft + θ)。其中，振幅A表示正弦函数的最大值，频率f表示正弦函数的周期，相位θ表示正弦函数在t=0时刻的相对位置。

幅频特性描述了正弦函数在不同频率下的振幅变化情况。根据正弦函数的表达式可知，振幅A是正弦函数的一个重要参数，它表示了正弦函数的最大值。当频率f增加时，正弦函数的周期变短，振幅A保持不变。因此，幅频特性可以表示为一个水平线，在不同频率下振幅保持不变。

函数描述：

y = 3*sin(x) ，x的区间 [0,2π]

幅值范围：[-3,3]

import matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
matplotlib.use('TkAgg')
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']   # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False     # 显示负号
if __name__ == '__main__':
    x = np.linspace(0, np.pi*2, 360)
    plt.plot(x, 3*np.sin(x), 'y')
    plt.show()  

生成波形如下：

增大函数的频率，其函数描述如下：

y = 3sin(2x) ，x的区间 [0,2π]

幅值范围：[-3,3]

使用python产生波形的代码：

import matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import mpl
matplotlib.use('TkAgg')
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']   # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False     # 显示负号
if __name__ == '__main__':
    x = np.linspace(0, np.pi*2, 360)
    plt.plot(x, 3*np.sin(2*x), 'y')
    plt.show()  

生成的波形图如下：