二分法详解：原理、算法与实例

二分法详解：原理、算法与实例

二分法是一种基本的数值解法，用于求解多项式方程的根。其核心思想是将包含根的区间不断二分，直到找到满足精度要求的近似解。本文将详细介绍二分法的基本原理、算法步骤，并通过一个具体示例帮助读者理解其应用。

什么是二分法？

二分法是求多项式方程根的基本数值解法之一。二分法将方程根所在的区间括起来，在每次迭代中将其分成两半，直到找到根。因此，二分法又称为括号法。

但由于其工作机制与二分查找算法类似，二分法又称为二分查找法、减半法或二分法，其主要基础是中值定理。

寻找方程的根

在这个例子中，我们只考虑具有一个独立变量的方程。它可以是线性的，也可以是非线性的。线性方程用于表示直线的图形，而非线性方程用于表示曲线。

方程的根是指满足方程的独立变量的值。例如：方程的根 f(x)= 4-x2= 0 为 2，因为 f(2) = 4-22= 0。

我们将 f(x) 视为一个实连续函数。根据中间值定理，如果 f(a)f(b) < 0，则方程 f(x)=0 至少有一个根位于 a 和 b 之间。函数 f(x) 有一个根“c”，位于 a 和 b 之间。

二分法的图形表示

下图表示二分法的工作机制。从图中我们可以看到方程的根用红色标记。

首先：

• 我们首先做了两个初步猜测，1和b1,其中 f(a1)f(b1) < 0. 根据介值定理，根应该位于[a1，b1].

• 我们可以找到1和b1,这是b2。因此，初始间隔现在减少到[a1，b2] 因为 f(a1)f(b2）<0。

• 以同样的方式，减少间隔直到找到近似解。

二分法算法

应用二分法算法求方程 f(x)=0 的根的步骤如下

步骤1）选择初始猜测 a、b 和容差率 e

步骤2）如果 f(a)f(b) >=0，则根不在此区间内。因此，不会有解。

步骤3）找到中点，c = (a+b)/2

（i）如果中点函数值 f(c) = 0，则 c 为根。转到步骤 5。

（ii）如果 f(a)f(c) < 0，则根位于 a 和 c 之间。则设 a = a，b = c。

（iii）否则设 a = c，b = b。

步骤4）如果绝对误差高于容忍率或（ba）>e，则转到步骤3。

步骤5）将 c 显示为近似根。

我们来看一个二分法算法的例子。

我们必须利用二分法公式找到下列连续函数的根。

二分法示例

步骤1）假设，

a = -10，

b = 10，且

e = 1% 或 0.01

步骤2）现在，我们将检查 f(a)f(b) 是否 >= 0。

f（a）= f（-10）=（-10）3-（-10）2 + 2 = -1098

f（b）= f（10）=（10）3-（10）2 + 2 = 902

f(a)f(b) = f(-10)f(10) = (-1098)(902) < 0

因此，上述函数的根位于区间 [-10, 10] 内。

步骤3）然后首先计算中点 c。

现在需要检查以下情况：

（i）f（c）= 0：

f(c) = f(0) = (0)3 – (0)2 + 2 = 2 ≠ 0

（二）若 f(a)f(c) < 0：

f(c)f(a) = 2*(-1098) < 0

条件已满足。对于下一次迭代，值将是，

一个=一个= -10

b = c = 0

步骤4）由于 (ba) = (0-(-10)) = 10>0.05，因此将重复该过程。表中显示了下一次迭代。

迭代 a b c 巴 f(c)

1 -10 0 0 10 2

2 -5 0 -5 5 -148

3 -2.5 0 -2.5 2.5 -19.875

4 -1.25 0 -1.25 1.25 -1.52562

5 -1.25 -0.625 -0.625 0.625 1.36523

6 -1.25 -0.9375 -0.9375 0.3125 0.297119

7 -1.09375 -0.9375 -1.09375 0.15625 -0.50473

8 -1.01562 -0.9375 -1.01562 0.078125 -0.0791054

9 -1.01562 -0.976562 -0.976562 0.0390625 0.115003

10 -1.01562 -0.996094 -0.996094 0.0195312 0.0194703

11 -1.00586 -0.996094 -1.00586 0.00976562 -0.0294344

步骤5）在第 11 次迭代中，步骤 4 的条件将为假。因此，该等式的根为 -1.00586。

二分法的优缺点