微积分初步：瞬时速度的概念与计算

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@小白创作中心

微积分初步：瞬时速度的概念与计算

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https://www.bilibili.com/opus/979256473433407569

本文将介绍微积分中一个重要的概念——瞬时速度。通过匀速直线运动和非匀速直线运动的对比，结合自由落体运动的例子，详细讲解瞬时速度的定义和计算方法。

匀速与非匀速直线运动的速度

我们知道，物体作匀速直线运动时，物体的位移 (s) 与所经过的时间 (t) 的比，就是物体运动的速度 (v)，即
[v = \frac{s}{t}]
这个速度在匀速直线运动过程中的任何时刻都是一样的。

如果物体作非匀速直线运动，也就是说，在运动过程的各个时刻，物体运动的快慢不一样。设已知物体的运动规律是 (s = s(t))，从 (t_0) 到 (t_0 + \Delta t)（(\Delta t) 称为时间改变量）这段时间内，物体的位移（即位置改变量）是
[\Delta s = s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)]

那么，位置改变量 (\Delta s) 与时间改变量 (\Delta t) 的比，就是这段时间内物体的平均速度
[v_{\text{平均}} = \frac{\Delta s}{\Delta t}]

平均速度的大小反映在这段时间内物体运动快慢的平均程度。

瞬时速度的求法

为了更精确地刻划非匀速运动，还需知道物体在某一时刻的“速度”。以自由落体运动为例，其运动方程是
[s = \frac{1}{2}gt^2]
其中 (g) 是重力加速度，通常取 (g = 9.8 , \text{米/秒}^2)。现在来求 (t = 3 , \text{秒}) 这一时刻落体的“速度”。

当 (\Delta t) 很小时，从 3 秒到 (3 + \Delta t) 秒这段时间内，落体运动的快慢变化也不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映落体在 3 秒时的“速度”。当 (\Delta t) 越小时，一般来讲，这种近似就越精确。计算 (t) 从 3 秒分别到 3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒、……，各段时间内的平均速度，结果如下表所示：

从上表可以看出，平均速度 (\frac{\Delta s}{\Delta t}) 随着 (\Delta t) 变化而变化，当 (\Delta t) 越小时，(\frac{\Delta s}{\Delta t}) 越接近于一个定值——(3g)。这个值就是 (\Delta t \to 0) 时 (\frac{\Delta s}{\Delta t}) 的极限。我们规定这个极限为落体在 (t = 3 , \text{秒}) 时的速度，也叫瞬时速度，用 (v) 表示。根据第一章求极限的法则，得
[v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = 3g]

一般地，我们规定，非匀速直线运动在某一时刻 (t_0) 的瞬时速度 (v)，就是运动物体在 (t_0) 到 (t_0 + \Delta t) 一段时间内的平均速度当 (\Delta t \to 0) 时的极限，即
[v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}]

平均速度 (\frac{\Delta s}{\Delta t}) 在 (\Delta t \to 0) 时转化为瞬时速度，瞬时速度的大小刻划了物体在某一时刻运动的快慢。

练习

一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 (y) 与时间 (x) 之间的函数关系为 (y = x^2)。

(1) 求时间 (x) 从 5 秒分别到 6 秒、5.1 秒、5.01 秒、5.001 秒、(5 + h) 秒的时间改变量 (\Delta x)，对应的垂直距离改变量 (\Delta y) 以及这段时间内垂直方向的平均速度 (\frac{\Delta y}{\Delta x})，并填下表：
(2) 求在 5 秒时垂直方向的瞬时速度。