拉马努金：解开数学谜题的神奇大脑
拉马努金：解开数学谜题的神奇大脑
拉马努金是20世纪最伟大的数学家之一，他的故事是一个关于天才、直觉和数学发现的传奇。从印度南部的一个小镇到英国剑桥的学术殿堂，拉马努金凭借非凡的数学天赋，为数论、分析学和无穷级数等领域做出了开创性的贡献。本文将带你走进这位数学天才的非凡人生，探索他那些令人惊叹的数学发现。
拉马努金的生平
拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887年12月22日-1920年4月26日）是一位印度数学家，被认为是20世纪最伟大的数学家之一。拉马努金在数学领域作出了许多重要贡献，尤其是在数论和分析学方面。
拉马努金出生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德。1898年，在他十岁的时候，进入贡伯戈讷姆一所中学，在那里他似乎第一次接触到正规的数学。11岁时，他已经掌握了住在他家的房客的数学知识，他们是政府大学的学生。13岁时，他就掌握了借来的高等三角学的书里的知识。他的传记作家称他的天才在14岁时开始显露。他不仅在他的学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金，他还帮学校处理把1200个学生（各有不同需要）分配给35个教师的后勤事务，他甚至在一半的规定时间内完成测验，这已经显示出他对无穷级数的熟练掌握；他那时的同校的人后来回忆说：“我们，包括老师，很少能理解他，并对他'敬而远之’”。
但是，拉马努金在其他科目无法集中注意力，并在高中考试中不合格。在他生活的这个时段，他也相当穷困，经常到了挨饿的地步。
他在小学时表现出了出色的数学才华，但家庭的贫困使他无法接受更高水平的教育。尽管如此，拉马努金在自学的过程中，通过阅读数学书籍和解决难题，不断提高自己的数学能力。
1909年，拉马努金向英国剑桥大学的数学家戈德巴赫（G.H. Hardy）寄送了一封包含自己一些数学发现的信件。戈德巴赫对拉马努金的才华深为震惊，邀请他前往剑桥研究数学。
在剑桥大学期间，拉马努金发表了许多重要的数学论文，涉及分析学、数论、无穷级数和模形式等领域。他的研究成果为数学界带来了许多新的领域和问题，深刻影响了后来的数学研究。
然而，由于长期的贫困和身体健康的恶化，拉马努金的剑桥之行并不顺利。他在剑桥期间一直受到健康问题的困扰，最终于1920年因结核病去世，享年32岁。
拉马努金的部分数学理论和成就
拉马努金黑洞公式（模θ函数）
他生命中的最后一项成果——模仿θ函数有力地推动了用孤立波理论来研究癌细胞的恶化和扩散以及海啸的运动；最近有专家认为，这一函数很可能被用来解释宇宙黑洞的部分奥秘，而令人吃惊的是，当拉马努金首次提出这种函数的时候，人们还不知道黑洞是什么。
拉马努金猜测，在输入特殊值时，也许能这样描述模θ函数：它和模形式毫不相像，但特性类似，这种特殊值称为奇点，靠近这些点时，函数值趋向无穷大。如函数f（x）=1/x，它有一个奇点x=0。随着x无限接近0，函数值f（x）渐增至无穷大。
拉马努金相信，对于每一个这样的函数，存在一个模θ函数使得它们不仅奇点相同，奇点的函数值也以几乎同样的速率趋近于无穷。而黑洞的中心其实就是一个奇点。在这个奇点上，史瓦西半径几乎为0，时空曲率和物质密度都趋于无穷大，时空流形达到尽头，引力弯曲成了一个“陷阱”，成了一个无限吞灭物质的无底洞。
拉马努金独立发现公式
这个公式是拉马努金独立发现的，现在运用于超弦理论：
虽然我们知道 1+2+3+··· 的结果是发散的，我们找不到一个确定的值。但是拉马努金解决了这类无穷级数，用两种不同的方法求解了无穷自然数列，其中比较简单的方法如下图：
即：
关于圆周率π的无穷级数展开公式
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年，Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
拉马努金的成就
包括拉马努金自己的发现和那些在和哈代的合作中发展和证明的定理，有高度合成数的性质，整数分割函数和它的渐近线、拉马努金θ函数。他也在下列领域做出重大突破和发现：伽马函数、模形式、发散级数、超几何级数、质数理论。
虽然很多命题都可以称为拉马努金猜想，有一个特别适合这个称号，它在后续工作中非常有影响。拉马努金猜想是一个断言，这是关于τ-函数的系数大小的，而那是一个模形式理论中的典型尖形式（cuspform）。这在几十年后被证明为魏尔猜想的证明的一个结果，归约步骤是很复杂的。
拉马努金的数学贡献为现代数学家从事数学研究提供了很好的史料，对现代数学的发展也产生了难以估量的影响。他在堆垒数论特别是整数分拆方面做出了重要贡献，在椭圆函数、超几何函数、发散级数等领域也有不少成果。他有着很强的直觉洞察力（可称之为“数感”），虽未受过严格数学训练，却能独立发现了近3900个数学公式和命题。他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示，早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题，日后有许多得到了证实。
除了在纯粹数学方面做出的成就以外，拉马努金的理论还得到了广泛的应用。他发现的好几个定理在包括粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术和空间技术等不同领域起着相当重要的作用，甚至晶体和塑料的研制也受到他创立的整数分拆理论的启发，而他在黎曼ζ函数方面的研究成果，现在已经与齿轮技术的进步挂上了钩，还被用于测温学及冶金高炉的优化。
对拉马努金的评价
拉马努金是印度在过去一千年中所诞生的超级伟大的数学家。他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑，在他死后70多年，他的论文中埋藏的秘密依然在不断地被挖掘出来。他发现的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。（引自卡尼盖尔所著传记《知无涯者：拉马努金传》第3页）
拉马努金的亦师亦友哈代曾感慨道：“我们学习数学，拉马努金则发现并创造了数学。”他更喜欢公开声称的是，自己在数学上最大的成就是“发现了拉马努金”。他在自己设计的一种关于天生数学才能的非正式的评分表中，给自己评了25分，给另一个杰出的数学家李特尔伍德评了30分，给他同时代最伟大的数学家希尔伯特（D.Hilbert）评了80分，而给拉马努金评了100分。他甚至把拉马努金的天才比作至少与数学巨人欧拉（L.Euler）和雅可比（C.Jacobi）相当。