基于补偿型对数运算的NTC热敏电阻线性化电路设计与分析
基于补偿型对数运算的NTC热敏电阻线性化电路设计与分析
NTC热敏电阻在温度测量中应用广泛，但其非线性特性往往需要复杂的软件处理才能实现精确测量。本文介绍了一种基于补偿型对数运算的NTC热敏电阻线性化电路设计，通过理论推导和仿真验证，详细分析了电路的工作原理和主要误差来源，为实现硬件级的温度补偿提供了实用的解决方案。
概要
NTC热敏电阻在许多场景下是进行温度测量的首选器件之一，但其非线性特性需要在采样后进行查表、拟合等软件处理，这通常不复杂，很容易做到，但有些场景下若能得到一个线性的温度-电压关系，可以拓宽NTC的应用，如无法使用MCU的场景、或者需要利用NTC对电路中的器件做温度补偿等，一个线性温度电压关系更方便硬件上的电路搭建、处理。
文章目录
概要
一、NTC热敏电阻的非线性特征
二、基于补偿型对数运算的NTC热敏电阻线性化电路
三、电路深入分析
1、主要误差来源
2、三极管的状态
（1）电流成分分析
（2）三极管的工作状态
3、补充说明
（1）NTC的作用与输出电压极性
（2）器件选型建议
一、NTC热敏电阻的非线性特征
NTC热敏电阻的阻值一般与温度呈负相关，即随着温度的升高阻值会减小。我当前使用的NTC其β值的典型值为3940K，在25℃时阻值典型值为100KΩ。以下是该热敏电阻在0-60℃区间上的阻值温度变化曲线：
横坐标为温度（℃），纵坐标为阻值（Ω）。可见其非线性特征非常明显。
热敏电阻的阻值与温度之间的关系式为：
$$
R_{NTC} = R_0 \times e^{\beta \left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_0}\right)}
$$
由数据手册知，在T0=25℃时，R0=100KΩ，而β=3940K，因此式中有三个参数是已知的，而温度T与RNTC之间为指数关系，导致了上图的非线性结果。
二、基于补偿型对数运算的NTC热敏电阻线性化电路
若要使NTC的输出线性化，由于（1）式的指数关系存在，需要考虑对数运算电路对其进行处理。参考了集成型对数运算电路芯片ICL8048，如图所示：
这是一种补偿型的对数运算电路。R1为NTC热敏电阻，UREF为5V固定参考电压，两个运放使用±5V电源供电，Q1和Q2为集成型的共射级NPN对管。由于三极管在温度变化时，其PN结的反向饱和电流Is也会变化，因此采用两个三极管且是集成型对管来补偿Is的温度影响。设U2的同相输入端电压为Up，Q1、Q2发射结偏置电压分别为UBE1、UBE2，流经R5和Q1的电流为IREF，流经NTC的电流为INTC，则：
$$
U_p = U_{BE2} - U_{BE1}
$$
两个三极管的基极和集电极都短接在了一起，因此UBE=UCE。根据三极管的电流分配关系可知，IE=IB+IC，则有：
$$
\begin{align}
& I_{E1} = I_{B1} + I_{C1} = \frac{U_{REF}}{R_{NTC}} \
& I_{E2} = I_{B2} + I_{C2} = I_{REF} \
\end{align}
$$
IE是三极管发射结电流，其大小必然遵循PN结电压-电流之间的基本关系，即当发射结正偏时，基极（P区）与发射级（N区）的偏置电压为UBE，则有：
$$
I_E = I_S \left(e^{\frac{U_{BE}}{U_T}} - 1\right)
$$
结合式（3）（4）可知，UBE2与IREF呈对数关系，UBE1与INTC呈对数关系，因此可以利用这里的指数关系对NTC进行线性化。式（4）中，IS为发射结的反向饱和电流，UT为温度的电压当量，其表达式为：
$$
U_T = \frac{kT}{q}
$$
k为玻尔兹曼常数，q为电子电量，T为热力学温度，当温度在0-60℃变化时，UT变化区间为23.5mV~28.7mV。这里使用的三极管为罗姆的集成型共射NPN对管，型号为QS5W2。对管的形式最大程度保证了两个三极管参数的一致性。因此在本电路中，当三极管UBE=UCE＞280mV时，根据UT的变化范围，可知
$$
I_S e^{\frac{U_{BE}}{U_T}} \ge I_S e^{10} = 22026 \times I_S >> I_S
$$
那么式（4）可简写为：
$$
I_E \approx I_S e^{\frac{U_{BE}}{U_T}}
$$
若要令Q1、Q2均满足UBE=UCE＞280mV，需要知道UBE的值。这里先假设条件成立，后面再对此展开分析。由于U1为反相输入，那么UREF必须是正电压，使UE为负。由上面分析可得：
$$
\begin{align}
& U_{BE1} \approx U_T \ln \frac{U_{REF}}{I_S R_{NTC}} \
& U_{BE2} \approx U_T \ln \frac{I_{REF}}{I_S} \
& U_p = U_{BE2} - U_{BE1} \approx -U_T \ln \frac{U_{REF}}{I_{REF} R_{NTC}} \
\end{align}
$$
U2为同相放大，因此输出电压UOUT为：
$$
U_{OUT} \approx -U_T \left(1 + \frac{R_3}{R_1}\right) \ln \frac{U_{REF}}{I_{REF} R_{NTC}}
$$
将式（1）代入上式，整理可得：
$$
U_{OUT} \approx -U_T \left(1 + \frac{R_3}{R_1}\right) \ln \frac{U_{REF}}{I_{REF} R_0 \times e^{\beta \left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_0}\right)}} = \left(\frac{\beta}{T_0}T - \beta\right) \frac{k}{q} \left(1 + \frac{R_3}{R_1}\right) \ln \frac{U_{REF}}{I_{REF} R_0}
$$
设
$$
c = \frac{k}{q} \left(1 + \frac{R_3}{R_1}\right) \ln \frac{U_{REF}}{I_{REF} R_0}
$$
其中均为已知量，则：
$$
U_{OUT} \approx \frac{\beta c}{T_0}T - \beta c
$$
式中T0, β, c均为已知量，得到了输出电压与温度之间的线性关系。
在LTspice中搭建仿真平台，结果如下：
可见温度与输出电压之间呈线性关系。
三、电路深入分析
1、主要误差来源
上述分析中，式（6）为简化计算，省去了一项Is，但由于
$$
I_S e^{\frac{U_{BE}}{U_T}} >> I_S
$$
在0~60℃范围内，前者至少是后者的4000倍，因此该误差非常小，可忽略不计。
理论上讲，IREF应当是个稳定的参考电流，从而使式（10）中的参数c保持恒定。但由于运放输入阻抗、输入失调电流等影响，在运放输入端会引走一部分电流，造成部分误差。但引走的电流极小，为pA级，因此可忽略不计。
2、三极管的状态
（1）电流成分分析
对于Q1而言，由于U1同相端虚地，反相端虚短，因此Q1的集电极（基极）所施加的偏置电压是非常小的，从仿真结果来看，该电压只有nV级别，Q2集电极和基极电压也只有几十mV；电流也同样非常小，若忽略运放的输入失调电流，流入Q1、Q2集电极与基极的电流之和仅几十uA，IB则更小，是nA级。照常分析，由于IB接近于0，这两个管子的基极基本可以认为是断路了，那么整个三极管则处于截止状态。但这里的三极管却能工作，原因在于，基极与集电极短接在了一起，三极管均处于连接状态，并没有真正地断路。
Q1和Q2基极与集电极相连接，使二者等电位。此时可认为三极管的集电结处于零偏置状态，相当于一个无外加电场作用的普通PN结，只不过P区掺杂浓度低且结面积很小，而N区结面积较大。另外，基极和集电极偏置电压虽然很小，却并不为0，即UB=UC＞0；基极电流和集电极电流也很小，却同样并不为0，即IB＞0，IC＞0。从三极管外部看，电流关系始终遵循IE=IB+IC，但从内部看，此时IE的主要构成实际上是三极管集电极与发射级之间的漏电流，即基极开路时，集电极与发射级间的穿透电流ICEO。另一电流成分是ICBO，指发射级开路时集电结的反向饱和电流，二者遵循ICEO=（1+β）ICBO，β指三极管的直流电流放大倍数。ICEO非常小，对于锗管，约几十uA，ICBO则更小。它们主要受温度影响，温度升高，ICBO、ICEO增加。由于三极管均处于连接状态，可知无论三极管处于何种状态，IE均会存在。因此本质上来看，U2放大的是，三极管Q2集电极电流IC2（主要是受温度影响的晶体管内部穿透电流ICEO）变化而引起的在U2同相输入端的电压变化，期间式（7）补偿了三极管反向饱和电流Is的影响。
（2）三极管的工作状态
由于UC1=UB1极小，意味着三极管的静态工作点即Q点非常低，此时三极管的输入电阻会很大，因此即使是很小的电流IC+IB，也可以让三极管有很大的压降，使得UCE=UBE必然大于0，即发射结处于正偏状态，集电结零偏。又由于IB、IC、IE均大于0，可以看出，三极管并不处于截止状态。
三极管饱和状态的唯一关键特征是，若增加IB，IC几乎不再增加；放大状态的特征则是IC的大小只与IB有关，与UCE无关。此时，电路中的IC大小虽然仅受控于IB，IB受控于UBE，但是这里UBE与UCE相等，并不容易看清它们之间的关系。而若增加IB，IC也必然会增加，那么这时的三极管既不完全具备饱和状态的特征，也不好判断是否处于放大状态，因此可以认为，三极管此时处于临界饱和状态或放大状态，只不过此时的直流电流放大倍数由于偏置电压和电流太小，应当小于额定值。临界饱和状态下，UBE=UCE=UCES，UCES指三极管的饱和压降，是饱和区和放大区的分界电压，其大小取决于三极管的内部掺杂程度，对于某个管子，是个定值。当UCE<UCES时，三极管饱和，反之则放大。QS5W2的UCES查阅数据手册可知其典型值为150mV，最大350mV，两个三极管UCES叠加，可判断UE1=UE2＜-300mV，前文式（6）的假定条件从而成立。
在LTspice对UE的值进行仿真，结果显示在0-60℃，其变化范围为 -516mV至 -443mV，验证了上述分析。
3、补充说明
（1）NTC的作用与输出电压极性
从上面的分析可以看出，该电路实际上与NTC并没有太大关系，如（8）所示，若将RNTC更换为普通电阻，电路照样可以反映温度变化，且为线性关系。如果硬要分析RNTC的作用，那就是增加了电路的温度灵敏度，使得温度变化时，式（8）中的对数计算令输出电压变化量更大，即灵敏度增加。
需注意最终输出电压的正负极性主要取决于式（10）常数c对数式中
$$
\frac{U_{REF}}{I_{REF} R_0}
$$
是否大于1，可以根据需求调整参数控制输出电压极性。
（2）器件选型建议
器件选型时，三极管应首选集成式共射级对管，保证二者参数的一致性，从而有效消除Is的影响。电阻应选择温度系数小、精度高的。运放应选择零温漂、低失调的精密运放。这样搭建起来的电路应该可以有较好的测温精度。