七道数学极限练习题及其答案详细步骤
七道数学极限练习题及其答案详细步骤
极限是高等数学中的重要概念，也是考研数学中的重点内容。本文精选了7道典型的极限题目，涵盖了多项式极限、三角函数极限、重要极限公式的应用等多种类型，每道题目都提供了详细的解题步骤和多种解题思路，帮助读者全面掌握极限问题的解法。
七道数学极限练习题
1.计算$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{11n^2-22}{22n^4+4n-4}$
2.计算$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{42n-26n-19}{28+3n-9n^2}$
3.求极限$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3-29x+28}{x^4-17x+16}$
4.求$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x+14\sin9x}{16x-27\sin5x}$
5.求$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{17x+25}$
6.求$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin19x-\sin41x}{\sin11x}$
7.求$\lim\limits_{x \to 0} (1+4x)^{\frac{2}{6x}}$
七道数学极限练习题详细答案
1.计算$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{11n^2-22}{22n^4+4n-4}$
解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。
本题计算方法为分子分母同时除以$n^4$，即：
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{11n^2-22}{22n^4+4n-4}$
$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{11}{n}-\frac{22}{n^4}}{22+\frac{4}{n^3}-\frac{4}{n^4}}$
$=0$
2.计算$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{42n-26n-19}{28+3n-9n^2}$
解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以$n^2$，即：
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{42n^2-26n-19}{28+3n-9n^2}$
$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{42-\frac{26}{n}-\frac{19}{n^2}}{\frac{28}{n}+\frac{3}{n}-9}$
$=\frac{42-0}{0-9}$
$=-\frac{14}{3}$
思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{42n^2-26n-19}{28+3n-9n^2}$
$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{84n-26}{3-18n}$，继续使用罗必塔法则，
$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{84-0}{0-18}$
$=-\frac{14}{3}$
3.求极限$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3-29x+28}{x^4-17x+16}$
解：观察极限特征，所求极限为定点$x$趋近于1，又分子分母含有公因式$x-1$，即$x=1$是极限函数的可去间断点，则：
$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3-29x+28}{x^4-17x+16}$
$=\lim\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x-28)}{(x-1)(x^3+x^2+x-16)}$
$=\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2+x-28}{x^3+x^2+x-16}$
$=\frac{1+1-28}{1+1+1-16}$
$=2$
4.求$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x+14\sin9x}{16x-27\sin5x}$
解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$应用计算而得，则：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x+14\sin9x}{16x-27\sin5x}$
$=\lim\limits_{x \to 0} \frac{2+14\frac{\sin9x}{x}}{16-27\frac{\sin5x}{x}}$
$=\lim\limits_{x \to 0} \frac{2+126\frac{\sin9x}{9x}}{16-135\frac{\sin5x}{5x}}$
$=\frac{2+126}{16-135}$
$=-\frac{128}{119}$
思路二：使用罗必塔法则计算有：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x+14\sin9x}{16x-27\sin5x}$
$=\lim\limits_{x \to 0} \frac{2+149\cos9x}{16-275\cos5x}$
$=\frac{2+149}{16-275}$
$=-\frac{128}{119}$
5.求$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{17x+25}$
解：本题思路是分子分母同时除以$x$，并变形使用重要极限公式$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，则：
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{17x+25}$
$=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x\sin\frac{1}{x}}{\frac{17x+25}{x}}$
$=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{17+\frac{25}{x}}$
$=\frac{1}{\lim\limits_{x \to \infty} [17+\frac{25}{x}]}$
$=\frac{1}{17}$
6.求$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin19x-\sin41x}{\sin11x}$
解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin19x-\sin41x}{\sin11x}$
$=\lim\limits_{x \to 0} 2\cos30x\sin(-11x)/\sin11x$
$=\lim\limits_{x \to 0} -2\cos30x$
$=-2\cos0=-2$
思路二：使用罗必塔法则计算有：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin19x-\sin41x}{\sin11x}$
$=\lim\limits_{x \to 0} \frac{19\cos19x-\sin41\cos41x}{11\cos11x}$
$=\lim\limits_{x \to 0} \frac{19-41}{11}$
$=-2$
7.求$\lim\limits_{x \to 0} (1+4x)^{\frac{1}{3x}}$
解：本题主要通过使用重要极限公式$\lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$计算而得，则：
$\lim\limits_{x \to 0} (1+4x)^{\frac{1}{3x}}$
$=\lim\limits_{x \to 0} \left[(1+4x)^{\frac{1}{4x}}\right]^{\frac{4}{3}}$
$=e^{\frac{4}{3}}$
$=e^{\frac{4}{3}}$