焊接结构应力分析与疲劳寿命评估：“网格不敏感-结构应力方法”
焊接结构应力分析与疲劳寿命评估：“网格不敏感-结构应力方法”
焊接结构的疲劳分析是保证金属工程结构安全可靠运行的关键。本文从焊接接头疲劳行为的特殊性入手，介绍了BS7608的名义应力方法及其局限性，重点阐述了董平沙教授提出的"网格不敏感-结构应力方法"。这种方法通过描述疲劳裂纹平面的应力状态，避免了焊趾点的应力奇异性问题，具有广泛的应用前景。
一、焊接疲劳研究分类
焊接对机械结构疲劳的影响主要体现在两个方面。首先，焊接的局部熔化和凝固过程会对焊缝金属和热影响区的组织性能产生不利影响，造成合金元素烧损，生成枝状晶，导致接头附近晶粒尺寸不均匀（见图1）。
图1：焊接接头及热影响区金属组织形貌
另一方面，接头的存在会给整个结构带来几何不连续，导致应力集中甚至应力奇异。焊接过程高度不均匀的温度场也会给焊接结构带来较大的残余应力，残余应力的峰值甚至达到母材的屈服强度。有时由于工艺不当甚至会在接头内部引入缺陷（见图2）。
图2：焊接结构的应力集中、残余应力以及缺陷
基于上述原因，业界对焊接结构的疲劳研究主要分为两类：焊接区域材料的疲劳行为研究和整体接头结构的疲劳控制参数研究。前者的研究对象是从小尺寸标准试件中截取的样本，而后者则关注接头结构的整体性能（见图3）。
图3：（a）第一类研究对象：从接头截取的标准试件；（b）第二类研究对象：整体接头结构
二、焊接接头应力状态的特殊性
第一类研究对象一般采用标准试件，因此应力状态简单，往往可以通过"载荷/截面积"的公式直接计算（见图4a）。但是，对于焊接接头来说，由于接头导致焊趾（或焊根）处几何突变，会使得焊趾处应力产生"奇异性"（见图4b）。根据弹性力学理论，焊趾附近某点的应力与该点到焊趾距离r有关，应力正比于(1/r)^β，即σ∝(1/r)^β。其中β随焊趾角度α而变化（β是α的函数），并且有0<β<0.5。根据这一关系可知，在焊趾处由于r=0会导致焊趾处应力理论上趋于无限大，这一现象就是所谓的应力奇异性。
图4：标准试件和焊接接头应力状态对比：（a）标准试件；（b）焊接接头
工程应用中往往利用有限元计算结构中的应力分布，而应力奇异性会导致焊趾处应力计算存在网格不收敛问题。即随着有限元网格尺寸变小，焊趾处应力会越来越大，并且不会收敛（见图5）。这是由于随着网格尺寸变小，有限元的结果会趋近于理论值，而理论上焊趾处应力趋近于正无穷，因此焊趾处应力并不会随着网格尺寸变小而收敛。这意味着焊趾处应力不能直接确定，因此无法直接通过材料的疲劳性能（例如基于材料的S-N曲线，以及经典的Coffin-Manson公式等）预测焊接接头的疲劳寿命。
图5：有限元模型中焊趾应力网格敏感性说明
三、基于名义应力法的疲劳寿命评估
1. 名义应力方法
为了解决上述问题，英国标准BS7608推荐采用名义应力方法评估焊接接头的疲劳寿命。具体分为以下两个步骤：
- 建立特定接头的S-N曲线
- 用S-N曲线评估接头疲劳寿命
以十字接头为例，首先对接头在不同载荷下进行大量的疲劳试验，并根据公式σ=F/(W×t)计算其名义应力，其中W和t分别是接头的宽度和厚度，同时记录接头的疲劳寿命。以名义应力为纵轴，疲劳寿命为横轴，绘制接头基于名义应力的S-N曲线。得到接头的S-N曲线后，便可以预测相同尺寸十字接头的疲劳寿命。例如，如果想知道接头在80MPa应力幅值作用下的疲劳寿命，只需要在S-N曲线的纵轴找到80MPa，S-N曲线横轴对应的寿命就是接头疲劳寿命的预测值（见图6）。
图6：（a）形成十字接头基于名义应力的S-N曲线；（b）利用S-N曲线预测接头疲劳寿命
2. 名义应力方法存在的问题
名义应力方法存在的一个问题就是不同类型接头的疲劳曲线不通用，也就是不同类型接头的疲劳数据没有可迁移性。如图7a所示，A型接头的疲劳数据与利用A型接头生成的疲劳曲线相吻合。但是B型接头的疲劳数据却与利用A型接头生成的疲劳曲线不一致（见图7b）。因此利用A型接头生成的疲劳曲线并不能用于描述/预测B型接头的疲劳行为。
图7：不同类型接头疲劳数据之间的关系：（a）利用A接头生成的疲劳曲线可以很好的描述A接头的疲劳数据；（b）利用A接头生成的疲劳曲线不能用于描述B接头的疲劳行为
3. BS7608的解决方案
针对上述问题，BS7608给出的解决方案就是对工程结构中常见的接头类型分别进行大量的疲劳试验，并对各类接头编号，绘制出一系列的疲劳曲线族（见图8）。在工程应用中，面对复杂的工程结构，工程师首先要根据自己的判断确定当前接头属于标准中的哪类接头类型，然后根据各种途径计算出接头在对应工况下的名义应力。最后选取对应的S-N曲线来评估疲劳寿命（见图9）。
图8：BS7608中部分接头分类及对应的疲劳曲线族
图9：名义应力方法在工程中的应用
根据上述分析，可以看出名义应力方法存在以下不足：
- 需要对每类接头都进行大量的疲劳试验，实验成本很高，一定程度上造成了疲劳数据的浪费；
- 复杂工程结构中往往很难判断具体接头的类型；
- 复杂工程结构载荷复杂，不易计算对应的名义应力。
四、结构应力方法
如上所述，焊趾处的局部应力具有奇异性，无法通过有限元方法明确确定，而名义应力又远离疲劳裂纹面，不能描述不同类型接头的共性疲劳问题。图10给出了大量不同类型的焊接接头以及它们基于名义应力的S-N疲劳数据。从图中可以看出如果用名义应力描述这些疲劳数据，则数据点非常离散，很难找到可以利用的规律。
图10：不同类型焊接接头及其对应的名义应力S-N数据
针对上述问题，密歇根大学董平沙教授经过多年研究提出了结构应力方法。该方法利用力学概念中经典的隔离体分析，直接描述疲劳裂纹平面的应力状态（见图11）。注意结构应力并不是描述焊趾点处的应力，而是描述了沿焊趾处的萌生的整个疲劳裂纹面内的应力状态，因此避免了焊趾点的应力奇异性。
图11：结构应力定义
结构应力的数学定义如下：
公式(1)
但是在有限元模型中，并不需要根据结构应力的定义（公式(1)）来计算结构应力。董平沙教授提出了一种基于有限元模型节点力计算结构应力的方法，该方法可以适用于二维、三维有限元模型，适用于实体、板壳和梁单元，并且该方法具有一定的网格不敏感性。
结合断裂力学概念，可以对结构应力参数进行修正，得到等效结构应力：
公式(2)
利用等效结构应力可以对图10中的各种接头的疲劳数据进行分析，得到结果如图12所示。从图中可以看出，如果利用等效结构应力描述接头的疲劳数据可以将各种不同类型的疲劳数据统一到一条曲线附近，这条曲线被称作主S-N曲线。利用等效结构应力和主S-N曲线可以用于统一分析各类焊接接头的疲劳行为。
图12：等效结构应力与名义应力对焊接接头疲劳数据描述的对比
结构应力方法具有以下优点：
- 可以通过有限元结果进行后处理计算，应力定义明确，并且具有网格不敏感的特性，可以充分反应结构具体工况的载荷及边界条件的影响。
- 适用于各类有限元模型（如实体单元、板壳单元等）。
- 结构应力方法利用唯一的疲劳曲线（主S-N曲线），减少了利用名义应力方法分析焊接疲劳时对疲劳曲线选择的不确定性。
- 可以对整条焊线所有位置进行一次性结构应力计算，可以明确确定易发生疲劳的位置。
该方法自发明后被美国机械工程师学会（ASME）美国石油学会（API）采用，被列入ASME BPVC VIII，API 579 / ASME FFS-1标准，在全世界50多个国家推广应用。2005年9月份，美国著名的《时代》杂志评价董平沙"把一个猜测的游戏变为可确证的科学"。