微积分从古至今的完整发展历程

微积分从古至今的完整发展历程

微积分作为近现代科学的开端，其发展历程充满了智慧与创新。从17世纪的科学探索到19世纪的理论完善，微积分不仅改变了数学的面貌，也深刻影响了物理学等自然科学领域。本文将带你回顾微积分从古至今的完整发展历程。

十七世纪，整个科学界最重要的课题就是研究物理学，尤其是天文学，微积分的概念也是由此诞生的。
当然，当时研究物理学可不是为了像现在高中生一样，去计算万能小滑块的各种运动数值。
当时的宗教普遍认为上帝处于“天堂”，出于对上帝无比虔诚的信仰，牛顿决心用自己的智慧找出上帝在设计宇宙时留下的密码，所以他写出了《自然哲学的数学原理》等著作。
在当时，“地心说”和“日心说”是当时吵的火热的两派。因此到底是太阳围着地球转、还是地球围着太阳转，决定着圣经和科学哪个更正确。牛顿对此也很感兴趣，因为他认为上帝无所不能，拥有绝对的统治权，创造了万物并制定了让宇宙运转的法则，所以他也想证明自己得到了上帝的奥秘。
那要怎么证明你的观点是对的呢？很简单，去准确预测行星的运行轨迹。
因为假如你的想法是对的，那么说明你通过自己的智慧找到了上帝在设计宇宙时留下的密码，你自然可以准确无误的预测天体的运动。反之，则说明你还没有参悟上帝的奥秘。
其中有一个人日心说学家叫开普勒，他以第谷的天文观测数据为基础，归纳总结出了开普勒三定律，第二条定律为：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

那这个扫过的面积该如何计算呢？就必须拥有一定的微积分知识了。
微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。其创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨。
实际上，在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。
例如天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列利于同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理）等等，对于微积分的雏形的形成影响深远。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现时数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
1665年，牛顿发明正流数术（微分），次年发明反流数术。之后将流数术总结一起，写出了《流数简述》，这标志着微积分的诞生。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）
同一时期，德国数学家莱布尼茨也独立创立了微积分学。
1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。
1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号(\int)，符号的发明使得微积分的表达更加简便。此外他还发现了求高级导数的莱布尼茨公式，还有牛顿-莱布尼茨公式，将微分与积分运算联系在一起，他在微积分方面的贡献与牛顿旗鼓相当。
莱布尼茨所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的
微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期，对18世纪的数学产生了重要而深远的影响。
但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础，虽然这在初创时期几乎是不可避免的。由于早期微积分学的建立的不严谨性，许多不安分子就找漏洞攻击微积分学，其中最著名的是英国主教贝克莱针对求导过程中的无穷小（(\Delta x)既是(0)，又不是(0)）展开对微积分学的进攻，由此第二次数学危机便拉开了序幕。
1734年，大主教贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。
在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说(x^2)的导数，先将取一个不为(0)的增量(\Delta x)，由((x+\Delta x)^2-x^2)，得到(2x\Delta x + (\Delta x)^2)，后再被(\Delta x)除，得到(2x+\Delta x)，最后突然令(\Delta x = 0)，求得导数为(2x)。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。
因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。
数学史上把贝克莱的问题称之为「贝克莱悖论」。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这个悖论就是造成第二次数学危机的主要论题之一。
到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力，其中包括了捷克]的哲学家波尔查诺，他提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解；分析学的奠基人，法国数学家柯西在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定义，建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋近于0的变量，从而结束了百年的争论，并定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性。
在1874年。德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。后续又有人发现了处处不连续但处处可积的函数，使人们重新认识了连续与可微可积的关系，他在连续闭区间内提出了第一、第二定理，并引进了极限的(\varepsilon \sim \delta)定义，使分析从几何直观的极限中得到了“解放”，从而驱散了17至18世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾。
后来，黎曼证明了被积函数不连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改进为黎曼积分。
至此，整个微积分学的理论和方法完全建立在牢固的基础上，基本上形成了一个完整的体系。
在黎曼将柯西的积分含义扩展之后，勒贝格又引进了测度的概念，进一步将黎曼积分的含义扩展。例如著名的狄利克雷函数在黎曼积分下不可积，而在勒贝格积分下便可积。
微积分对于物理学的意义极大，例如，我们都知道，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，但是因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是0 ，而0/0是无意义的，这就要靠微积分来解决。此外，由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以重要的就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向，这也要靠微积分来解决。
到此，整个微积分历程得到了前所未有的发展，微积分的诞生对于近代数学和物理学的发展起到了决定性的作用。
可以说，微积分是近现代科学的开端。